数学的本质及其对数学教学的影响谈数学教学与数学美育

【数学的本质及其对数学教学的影响】谈数学教学与数学美育

　　数学之美充满了整个世界，它结构的完整、图形的对称、布局的合理、形式的简洁，无不体现出数学中美的因素。而作为人类文明和智慧的结晶，数学本身又蕴含着探求未知世界，追求科学真理的功能。数学教学则应在师生和数学2间架起一座桥梁，使数学中美的因素得以体现。

　　数学美的产生，需要具备两方面的条件：一是审美对象的存在。即数学本身存在着美的因素；二是审美者的存在。数学教学过程则为数学审美能力的培养——数学美育提供了条件。数学审美能力是在数学审美活动中逐渐培养起来的。它主要包括数学审美感知力、审美想象力、审美情感活动能力和审美评价能力。下面从这四个方面谈一些粗浅的看法。

　　1提高数学审美感知能力

　　数学审美感知力是对数学中美学因素的直观把握，这是教学审美的基础。’数学学习过程中，学生首先接触到的是数学概念、公式、定理、法则等，它们虽然蕴涵着美的因素，但由于数学的美主要是通过数学语言来体现的，具有一定的间接性、模糊性。因此，并不是所有的学生都能感受到数学美的存在。这就需要教师在教学中有意识地培养学生的数学审美感知力，引导他们去发现美，鉴赏美。例如，教材中对杨辉三角形的介绍仅限于二项展开式中系数规律的分析，其实它还是蕴含组合恒等式的宝库：每行中与首末两端等距离的数相等，即C＝C；除1以外的其余各数都等于它肩上的两数之和。即C＋＝c＋c；第N行各数之和等于2，即c＋CL＋CZ＋…＋q＝2；自腰上某个1开始，平行于另一腰的连续n个数之和等于最后一个数的斜下方那个数，即C＋C＋＋C＋＋…＋c，－＝c＋C，或C＋C＋l＋C＋＋…＋C＋＝c十等。通过教师的深入挖掘，使学生看到一个小小的“三角形”，却蕴藏着如此众多的数学知识，从而充分感受到杨辉三角形在形式上所具有的简洁美。图形上存在着的对称美，生成方式上体现出的统一美。数学中有些规律的奇巧或结果的出人预料（奇异美）也给人以美的享受。比如，对于任意三角形，它们的三条中线总是交于一点，使学生看到各种三角形都是如此而并非巧合，显示了一种奇巧的美。同样，三角形三条角平分线、三条垂直平分线、三条高

　　也分别交于一点，更进一步使学生认识到既使是最简单的图形——三角形也蕴藏着铁一般的规律。再如，欧拉公式e＝cosx＋isinx，被人们认为是一个非常优美的公式。原因在于指数函数与三角函数在实数域中看不出有什么联系，而在复数域内却发现了他们之间的相互转化，并被一个非常简单的关系式联系在一起。特别有趣的是当x=π时，欧拉公式写成了e－l＝0它把数中最富有特色的五个数0，l，i，e，π巧妙地联系在一起。

　　从数学美的外在表现形式出发，变抽象为直观，充分揭示其美的内涵是数学教学应遵循的原则。空间审美感知力（即对物体的形状、大小、方位等空间特征的感知力）的培养也是如此。解析几何中讨论的空间曲面是对称的，对称虽然显得呆板，区若将其看成一种美，就会发现，这些图形和它们的方程之间有着怎样的一种和谐统一的美感，反过来，由方程：z＝＋y关于、y的对称性，又可以给作图和研究曲面的性质带来极大的方便。引导学生从上述特征出发，在激发学生求知欲的同时，也进行了一堂生动的数学美育课。

　　2提高数学审美想象力

　　数学审美离不开想象，想象在数学中占有十分重要的地位。谈数学审美想象力，就不能不提到“0．618”这一数字。“0.618”在数学上称为黄金分割数。按此比例把线段分割做成像框给人以协调的感觉；它可以把圆十等份，做成正十边形，连接对角线又可得到正五角星；另外，医学研究发现，人体内部存在着一个最佳藕合系数，其变动范围在0.617－0．675之间摆动，正巧把黄金分割值0．618包括在内。人类意识活动的最佳状态的重要条件是脑心耦合机制，即心脑以心、脑最佳频率耦合的形式参与了思维。这些都并不是巧合，而缘于数学本身所具有的内在美。再如，在讲授利用圆的内接多边形面积的极限来求圆面积时，结合我国魏晋时代数学家刘徽首创的“割圆术”：“割之弥细，所失弥少；以至于不可割．则与圆合体而无所失矣。”这说明刘徽想到了事物的无限可分性，并认识到了在一定条件下无限可以向有限转化，这在当时是一种多么新奇美妙的数学思想啊！这些都有助于培养学生良好的美感，而良好的美感又能够诱发人的创造性思维，对于提高学生类比、联想、想象等特殊思维能力起着十分重要的作用。

　　3提高数学审美情感活动能力

　　数学审美情感活动能力是指数学审美情感的激发、泛化和控制的能力。数学美感是数学家探索未知数学规律的主要心理因素，也是他们进行科学发现的智慧源泉。在数学教学过程中，引导学生进行规律的再发现。不但可以激发学生的审美情感，也能使他们在一个轻松的心态下完成新知识的学习。设置悬念是激发学生数学审美情感的重要方法。如在数列极限的教学中，对学生提出艺诺悖论：乌龟和兔子赛跑。龟在兔前100米，两者同时起跑。免的速度是龟的10倍，兔能否追上龟？结论显然，但如果换个角度分析：以上条件不变，兔跑完100米，龟已前进100米，因此设造上；兔跑完1o米，龟又前进1米．还是没道上；当兔子又前进1米．电又前进0．l米；如此下去．兔子不是永远追不上乌龟吗？这一问题的提出引发学生的探究兴趣，学生的思维进入兴奋状态此时适时地引人数列圾限的概念，龟兔距离差构成数列：l0，10，10，10－，10－，…此数列的变化趋势为零，在无限变化的过程之中，兔子追上了乌龟。在有限到无限、近似到精确的过程之中，事物本身发生了质的变化。学生的认识水平也产生了一个飞跃。又如，为了引入对数概念，教师可先引导学生复

　　习由等式a＝N所定义的两种运算：已知a、b求N的运算——乘方；已知N、b求a的运算——开方再启发学生从考虑数学和谐美的特征出发，还必须存在着另一种运算：已知a、N求b的运算——求对数．这洋，就从弥补原有知识结构上不对称的缺陷开始，完成了引进对数概念的任务。

　　另外，数学应用美是数学美的一个重要方面，它体现数学对于外部世界的完善与和谐．数学知识在科学技术和社会中有着广泛的应用．不同的人应用相同的数学概念和方法研究不同的事物，不相同的事物又都服从于同一数学规律，这充分体现出数学的应用美。在教学中．教师若能经常补充一些与现实生活有关的实际问题扩大知识的应用领域，必将使学生对教学和数学美有更加深刻的认识。抽象概念的形象比喻，复杂解析式的几何图示，高深理论的生活例证，将给学生以轻松的学习氛围，也能激发起对数学的审美情感。

　　4提高数学审美评判能力

　　数学审美评判能力是审美者对审美对象的分辨和评价能力。提高数学审美评判力，首先要以马列主义胜界观为指导，培养学生的审美观。因为审美观与世界观紧密相联，并受其制约，不能唯美、泛美，每个问题都去找美，要认识到数学中的真美，追求数学中的真美。其次，在课堂教学中经常发掘教材中的数学美并引入适当实例，就能大大提高学生感受美和鉴赏美的能力，逐步使学生达到运用数学中的弟学方法去进行美的创造的初步能力。例如在椭圆标准方程的推导过程中，由。可推得M＋MN＝2。它能否作为椭圆的方程呢？完全可以，但它不符合数学简单美的特征。为此，将上述方程适当变形整理，化为wt＝＝1一与前相比，方程变得简单了，但还感到有些美中不足，由于椭圆具有对称性，反映出和谐美的特征，那么它的方程在结构上也应具有对称性，给人以美感．为此，令的分母取得相同的形式，最终使方程化为．这个方程具有数学美的特征，称为椭圆的“标准”方程当之无愧。引进字母”b”纯粹是为了追求方程的对称美，但后来发现a、b正好分别是椭圆的长、短半轴的长，字母“b”含有了鲜明的几何意义，人的内心世界感到美的东西，在外部世界得到了印证．这正体现了“美”与“真”之间微妙的统一性。

　　数学教学和数学美育的关系不仅表现在美育离不开知识的传授，还表现为美育有助于知识的传授，美育和智育是相互促进的。审美教育对数学教学的促进作用可归结为：l以美动情．教学过程中审美活动的直接效应是引发学生的审美情感，使学生得以在一种积极的情绪体验的氛围中进行，呈现出生机和活力。2以美启真．审美教育活动不仅能够为学生接受知识、探索真理创造良好的心理条件，而且有助于学生有效地获取真知，发展理性，良好的美感能够成为他们启开数学知识宝库之门的钥匙

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