【高中数学公式大全】高中数学破题技法之"芝麻开门 点到成功"
作者：佚名
●计名释义
七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点.《阿里巴巴》用“芝麻开门”，讲的是“以小见大”.就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给“点”开了.
数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，这些足以说明“点”的重要性.因此，以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了.
●典例示范
［例题］（2006年鄂卷第15题）将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如下图所示的分数三角形，称来莱布尼茨三角形.从莱布尼茨三角形可以看出
［分析］一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然大物.从何处破门呢？我们仍然在“点”上打主意.
莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点1/1的主意.
［插语］本题是填空题，只要结果，不讲道理.因此没有必要就一般情况进行解析，而是以点带面，点到成功.要点明的是，这个顶点也可以不选大三角形的顶点.因为三角形中任一个数，都等于对应的“脚下”两数之和，所以选择任何一个“一头两脚”式的小三角形，都能解出x=r+1.
第2道填空，仍考虑以点带面，先抓无穷数列的首项1/3
［点评］解题的关键是“以点破门”，这里的点是一个具体的数1/3，采用的方法是以点串线——三角形中的实线，实线上端折线所对的那个数1/2就是问题的答案.
事实上，三角形中的任何一个数（点）都有这个性质.例如从1/20这个数开始，向左下连线（无穷射线），所连各数之和（的极限）就是1/20这个数的左上角的那个数1/12.用等式表示就是
［链接］本题型为填空题，若改编成解答题，那就不是只有4分的小题，而是一个10分以上的大题.有关解答附录如下.
［说明］以上三法，都是对解答题而言.如果用在以上填空题中，则是杀鸡动用了牛刀.为此我们认识到“芝麻开门，点到成功”在使用对象上的真正意义.
●对应训练
1．如图把椭圆
的长轴AB分成8份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+……+|P7F|=_______.
2．如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，P，Q分别是侧棱AA1，CC1上的点，且A1P=CQ，则四棱锥B1—A1PQC1的体积与多面体ABC—PB1Q的体积比值为.
●参考解答
1．找“点”——椭圆的另一个焦点F2.
连接P1F2、P2F2、…、P7F2，由椭圆的定义FP5+P5F2=2a=10
如此类推FP1+P1F2=FP2+P2F2=…=FP7+P7F2=7×10=70
由椭圆的对称性可知，本题的答案是70的一半即35.
2．找“点”——动点P、Q的极限点.
如图所示，令A1P=CQ=0.即动点P与A1重合，动点Q与C重合.
则多面体蜕变为四棱锥C—AA1B1B，四棱锥蜕化为三棱锥C—A1B1C1.
显然
V棱柱.
∴
∶
=1/2
于是奇兵天降——答案为1/2.
［点评］“点到成功”的点，都是非一般的特殊点，它能以点带面，揭示整体，制约全局.这些特殊点，在没被认识之前，往往是人们的盲点，只是在经过点示之后成为亮点的.这个“点”字，既是名词，又是动词，是“点亮”和“亮点”的合一.
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