[关于数学的严谨性]浅论数学内容的严谨性
作者：佚名论文摘要：严谨性是数学科学的基本特点。它要求数学结论的叙述必须精练、准确，而对结论的推理论证和系统安排都要求既严格，又周密。
即使是一些最基本、最常用，甚至不能藉逻辑方法加以定义的原始概念，数学科学也不满足于直观描述，而要求用公理来加以确定。对公理的选择，还必须满足“独立性”、“相容性”和“完备性”的严格要求。在新的数学结论的推证过程中，则步步要有根据，处处应合
乎逻辑理论的要求。要数学内容的系统安排上，也必须符合学科内在的逻辑顺序。数学科学的严谨性，还有日益加强的趋势。由于各种专门符号的广泛使用，大量命题的陈述和论证都日益符号化、形式化。
1数学的严谨性并不是一下子形成的。在它达到当前高度严谨性以前，也有过一个相对来说不那么严谨的漫长历程。例如，作为全部数学的严格基础的数的系统理论，只是到了十九世纪末期才达到当前的严谨程度。在此以前，它处于不太严谨、甚至是很不严谨的境况。
总之，任何数学课程，都必须达到一定的严谨性。但是，究竟需要达到何种程度，则由该门课程的开设目的所决定。而且，严谨性的要求，也不是一下子完全达到，而可以逐步地满足。例如，现行数学教材中的函数概念的精确化是经历了一个漫长的历史过程的。
2学生对数学的严谨性要求，要有一个逐步适应的过程。刚上中学的学生，由于他们认识上的特点，以及在小学阶段的训练基础，对严谨性的要求要有一个适应过程。开始，学生对一些较精确的数学语言，如“互为相反数”、“任意非零整数”、“存在”、“唯一”、“仅当”等等，往往缺乏足够的理解。所以，对一些定义、法则往往局限于背诵条文和模仿范例解题。对法则的适用范围和具体要求，往往考虑不够。因此，在综合运用时经常互相混淆而出错，更谈不上灵活运用了。
对于严格推证，学生更是不适应。学生习惯于用不完全归纳法，从个别实例中归纳出一般结论，而认识不到论证的必要性。在证明过程中，又经常根据证明的需要而临时“创造”出新的论据，假如教学过程不进行足够训练，并使学生逐步掌握教材的严谨性，那么，甚至到了高年级，他们还经常把对概念的一些常识性、直观性理解，来代替精确定义；也会毫无根据地把一些数学结论推广到不适当的场合。例如，他们把点理解为很小很小的、大小可以忽略不计的球；把相似理解为形状相象；把函数理解为随着别的数的改变而变化的数；把极限理解为近似，等等。他们还经常毫无根据地“运用”分配律得出类似于logａ（α+β）=logａα+logａβ的错误结果。
不过，对这些现象应当有一个正确的分析。一方面应当认识到，由于年龄特点，学生对严谨性要求确实有不适应之处，而另一方面也必须看到，出现这些现象往往是教学中缺乏基本训练的结果。事实上，正如前面谈到的那样，传统的教材和教法侧重于机械记忆加模仿，学生当然会养成不求甚解、不问根由的习惯。近年来国内外的大量实验证明，学生对严谨性的要求，是可以逐步适应的。学生经过一定的训练以后，对“有唯一解”、“取非负值”等术语能灵活运用，对一些比较严格的推理和证明也能很好接受，还能独立地完成一些代数和几何的证明和讨论。
可见，对严谨性的要求，学生开始时在接受上确实有一定的局限性，要有一个适应的过程。但是，倘若要求合理，教法得当，适应过程可以大大缩短。
3那么，数学教学内容的严谨性，究竟要达到什么程度才合适呢？它应当符合以下几点要求：
首先，必须保证内容的科学性。
考虑学生的理解能力和教学上的实际需要，中学数学内容的严谨性要求可以适当降低，但必须保证对相应的数学内容要有正确的理解和掌握。
例如，我们可以用“无限接近于”等较形象的语言来描述数列或变量的极限概念，而不用“ε-δ”式的严格定义。但是，在结合实例进行描述时，必须讲清楚，这是某些无穷变量变化时的一种变化趋势，不要让学生误以为这是取无穷变量的近似值。又如，利用直角三角形讲锐角三角函数时，也应当明确指出：锐角三角函数是随着角的改变而改变的变量，而且它的变化可以由相应的线段之比来确定，特别当取定某一锐角时，它的三角函数值与直角三角形的边长无关。不要使学生误认为“锐角三角函数只是边长一定的直角三角形的两边之比”，这样不符合科学性的要求。
其次，必须有助于发展学生的逻辑思维能力。
发展学生的逻辑思维能力，是中学数学课的重要目的之一。而数学的严谨性要求，正是发展学生逻辑思维的核心环节。逐步加强教学内容的严谨性，并使学生真正消化理解，是培养学生逻辑思维的重要措施，也为今后教学进一步提高严谨性创造了有利条件。不断地丰富学生的数学语言就是一项十分关键的工作，它不仅达到上述目的，还有利于提高学生阅读数学书籍的能力。
最后，数学内容的严谨性要求，应当是学生力所能及，而又必须经过努力才能达到的。所以，必须充分估计学生的接受能力，要从发展的观点考虑学生的潜力，使数学的严谨性要求不断提高。
