文化创新的根本途径_创新途径，合情推理
作者：佚名【内容摘要】在当今社会中，合情推理被广泛地应用于科学、生产和社会研究之中，因此，注重培养和发展学生合情推理能力，对人类社会的发展具有重要意义。本文结合实例对创设问题情境、归纳、类比、数形结合、动手操作和联系生活几种可行性途径进行探讨，阐述了将合情推理能力的培养有机地融入到教学过程中的几点做法。
【关键词】观察归纳类比联想合情推理能力
人们面对纷繁复杂的信息经常需要作出选择和判断进而进行推理、作出决策。新课标指出：义务教育阶段的数学学习，应“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”。合情推理就是一种合乎情理的推理，是根据已有的知识和经验，在某种情境中经历观察、实验、猜想等数学活动推出可能性结论的推理。主要包括观察、比较、不完全归纳、类比、猜想、估算、联想等思维形式，它的实质是“发现”。因而关注合情推理能力的培养有助于发展学生的创新能力。以下是笔者在教学中培养和发展学生合情推理能力的几点做法：
一、创设问题情境，培养学生的观察能力，激发合情推理。
观察是认识事物最基础的途径，是发现问题的前提。在教学中从知识发生的过程设计合情推理的问题情境，留给学生足够的推理与猜想的时间，让学生通过合作交流或独立探究自主发现规律，从而获取新知，充分展示学生的思维过程，有利于学生理性思维的提高。
在多边形第一课时教学中，首先以师生一起学简单的风筝制作引出课题：
问题1：要做如图1所示的风筝外框需要几根细竹条？怎么做？
问题2：用四根竹条首尾顺次相接形成了风筝的外框，你能给这个平面图形取个名吗？
像这样由怎么样做风筝引出四边形的定义，并让学生自己通过联想制作风筝的过程，得出四边形的定义，在这一过程中学生的观察、联想、发现等能力均得到发展。
在动手实践，猜想四边形内角和定理这一环节的教学中，笔者作如下设计：在制作四边形风筝的过程中，我们需要将一张四边形纸糊上去。
问题1：你会画四边形吗？如果会，试画一个，并剪下来。
问题2：拿起你手中的四边形，找出四个内角，并作上记号，剪个四个内角，把它们拼在一起（四个角的顶点重合），你得到了什么？
问题3：其他同学与你的结论相同吗？与同学交流，把你们的发现概括成一个命题。
以上设计让学生用生活化的情境来动手验证四边形的内角和定理，以加深对定理的理解，同时也培养了学生的合作交流和总结归纳的能力。
“证明定理”过程教学如下：
在制作风筝时，为了固定风筝的各条边，我们往往在中间加些竹条，如图2所示。
问题1：图中作了风筝的外框是四边形外，还有我们学过的什么图形？
问题2：你能说出三角形有哪些性质吗？
问题3：三角形内角和是180°，那么四边形的内角和是多少？你能证明吗？
问题4：一般情况下固定风筝的各边，用一根竹条是行不通的，你能根据如图3所示的方法，再次证明四边形内角和定理吗？
问题5：还有其他证明的方法吗？
问题6：三角形的外角和是360°，那么四边形的外角和是多少？你能证明吗？
通过四边形风筝的对角线让图形本身来暗示学生，若要求四边形的内角和，可转化为三角形来解决，有助于学生转化思想的培养
最后设计解决问题环节：“能否用相同形状的任意四边形地砖铺地？试说明理由。”教学过程理论联系实际，很好地将合情推理能力的培养有机地融入到教学过程中，让学生置身于问题情境中，边观察边思考边推理，有“随风潜入夜，润物细无声”的教学效果。
二、通过特殊化引领，带动合情推理。
佛教《百喻经》中有这样一则故事。从前有一位富翁想吃芒果，打发他的仆人到果园去买，并告诉他：“要甜的，好吃的，你才买。”仆人拿好钱就去了。到了果园，园主说：“我这里树上的芒果个个都是甜的，你尝一个看。”仆人说：“我尝一个怎能知道全体呢？我应当个个都尝过，尝一个买一个，这样最可靠。”仆人于是自己动手摘芒果，摘一个尝一口，甜的就都买回去。带回家去，富翁见了，觉得非常恶心，一齐都扔了。
故事里仆人的做法，当然是不靠谱的，其实他只要选二三个尝尝即可得出这批果子是不是甜的，在数学中，我们称之为归纳。即由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。是由部分到整体,由特殊到一般的推理。著名数学教育家波利亚曾指出：“只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，就应当让猜测、合情推理占有适当的位置。”应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论。
例观察下列等式
6＝3+3，8＝3+5，10＝3+7，12=5+7，14=3+11，16=5+11．你发现了什么规律？
学生不难归纳出如下规律：偶数＝奇质数＋奇质数
通过更多特例的检验,从6开始,没有出现反例.
大胆猜想:任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数的和－――歌德巴赫猜想。由此可见，教学中采用归纳推理，可以培养学生的创新精神。
对于“平方差公式”的教学可设置如下的问题串：
计算并观察下列每组算式
（1）9×9=817×7=4911×11=121
8×10=806×8=4810×12=120
（2）已知13×13=169，那么12×14=？
（3）你能举出一个类似的例子吗？
（4）从上述过程，你发现了什么规律？你能用语言叙述这个规律吗？你能用代数式表示这个规律吗？
（5）你能证明自己所得的规律吗？
在这样的过程中，引导学生从对具体算式进行观察、比较，利用归纳推理提出猜想，进而用数学符号表达——若a×a=m，则（a-1）×(a+1)=m-1，然后用多项式乘法法则证明猜想是正确的。
这类问题既要求学生细心观察、大胆猜测，做出合情推理，又要能够逐步证明，对学生思维习惯的培养有很好的促进作用。
三、利用数形结合，养成合情推理
数形转化就是通过数与形的相互转化来解决数学问题，数形结合兼有数的严谨与形的直观，利用数形转化可使复杂问题简单话、抽象问题直观化，通过数形相互转换，得到解决问题的方法。“它山之石可以攻玉”，用直观几何求解代数问题可以激活学生思维、产生直觉判断，从而引导学生主动联想，大胆假设推理，形成合情推理的能力，养成合情推理的习惯。
例1观察图4，可以发现：
1=12，
1+3=4=22，
1+3+5=9=32，
1+3+5+7=16=42，
1+3+5+7+9=25=52，
你能否从中归纳出一般性法则?
解析：图中一个小方块的面积就是“1”，三个小方块的面积就是“3”，四个小方块的面积就是边长为“2”的正方形的面积即为“4”，所以有“1+3=4=22”.由此可归纳出1+3+…+(2n－1)=n2．数形结合，直观明了。
四、采用类比联想，渗透合情推理.
通过两类不同事物之间的对比，找出若干相同或相似点之处，推测在其它方面也可以存在相同或相似之处，这种由此及彼，求同存异的思维方式数学中称之为类比。
例如，寻找120的因数，不同的学生会得到不同的结果——12和10，6和20，3和40，……他们进行讨论交流时，可能会发现这几对因数之间的关系：把①中的12除以2得6，而①中的10乘以2得20；第③对因数与第①②对因数之间也有类似的关系。于是学生将会发现更多对因数：如12乘以2得24，10除以2得到5，发现了120的又一对因数24和5。如果学生继续探究，还能作出更一般的归纳：把一对因数中的一个因数除以某个数(如果商是整数的话)，另一个因数乘以这个数，就能得到一对新的因数。例如，由210=15×14，就能知道210=5×42，210=2×105，……在这样的过程中，学生实际上进行了简单的归纳和类比。
教学中通过对相关性质进行类比，比如，在学习矩形，菱形，正方形等四边形的性质和判定时类比平行四边形；类比相似多变形得到相似三角形的定义、性质。可以达到融会贯通，事半功倍的效果。
教学中利用圆的轴对称性探索垂径定理及推论，利用圆的旋转对称性发现圆中弧、弦、圆心角之间的关系，运用图形变换（平移、翻折和旋转）来学习三角形的全等的知识，通过类比让学生认识几何的变换方式，研究的方法，变换中的各量之间的关系，是发展学生合情推理能力的一种有效方法。
五、通过动手操作，大胆猜想，促进合情推理。
心理学家皮亚杰认为：“智慧从动作开始，学生的多种感官参与认知活动，可以使信息不断的刺激细胞，促使思维活跃。”《新课标》强调，在教学中要把所学知识与日常生活密切联系，使学生在观察，操作、交流等活动中，获得简单的平面图形直接经验。在《轴对称图形》教学中，可以从观察和感受出发，利用对折、剪纸等操作让学认识轴对称图形，进而创造轴对称图形。
在研究圆与圆之间的位置关系时，可以让每个学生准备两个大小不同的圆，通过直观操作，从相距较远到逐渐接近直至重叠，再到再度相离，观察这一运动过程，探索出两圆的五种位置关系。在探索切点与连心线的位置关系时，又可通过折叠操作得出结论。教学中通过直观操作，可以培养学生的观察思考和探索发现能力。
教学中还可以增设动手操作的问题，让学生在动手操作过程中，通过手脑并用，促进合情推理能力的发展。
由6个正方体搭成一个几何体，从正面看和左面看的图形分别为如图5
你能摆出这个几何体吗？学生在实际操作的过程中，要不断地观察、比较、分析、推理，才能得到正确的答案。这个过程不仅发展了学生的合情推理能力，而且有助于学生空间观念的形成。
在探索三角形全等的条件时，给学生条件的条件从一个条件（一边、一角）、两个条件（二边、二角、一边一角）三个条件（三边、三角、一边两角、两角一边）分别探索，可以先让学生去猜想结论以后，再让学生以小组为单位进行合作探究，来验证他们的猜想。只要给学生提供探索、交流的空间，在经历观察、实验、猜想、归纳、类比”等数学活动过程中学生的合情推理能力便会得到发展。
六、联系实际生活，发展合情推理
人们在日常生活中经常需要作出判断和推理，许多活动也隐含着推理的要求。所以，要进一步拓宽发展学生推理能力的渠道，使学生感受到生活、活动中有“学习”，养成善于观察、勤于思考的习惯。
如讲授相似三角形应用时，问能否不过河测出河宽，不上树测出树高，用一个五分的硬币测出月亮离我们有多远？
在学习统计时，问：为了筹备新年联欢晚会，准备什么样的水果才能最受欢迎？为此，首先应由每个学生对全班同学喜欢什么样的水果进行调查，然后把调查所得的结果整理成数据，并进行比较，再根据处理后的数据作出决策，确定应该准备什么水果。随着这类实际生活问题的解决，学生的合情推理能力也不断地得到发展。
当然，在注重发展学生合情推理能力的同时，也要让学生体验仅通过合情推理得出的结论并不一定是可靠的。因此，教学中在引导学生学会细心观察、大胆猜测，做出合情推理的同时，也要引导学生能够逐步学会严格证明，强化演绎推理能力。让学生的思维能够向深度、广度拓展，掌握猜测数学规律的方法，养成“观察——归纳（类比）——猜想——论证”的思维习惯，提高数学素养。
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