常见的勾股数|证明勾股数必然能被3、4、5整除
我想知道勾股定理的人应该都知道这个结论，即在任何一组勾股数组(a,b,c)中，一定存在一个数整除与3,4,5.也就是我们最小的一组勾股数，今天就给大家介绍一个证明方法，相对来说还是比较简单的，不用分类讨论。首先我们需要了解关于勾股数的一个有趣性质：对于基本数组(a,b,c),也就是a,b,c之间没有除了1以外的公因数的数组，其中任何两个数都是互素的，即(a,b)=(b,c)=(a,c)=(a,b,c)=1.这个结论我想大家都应该能想通吧，一旦a和b有公因数k，那么其平方和必然k2，导致c也有因数k。
很显然，我们只讨论基本数组(a,b,c)即可，也就是三个数之间没有公约数的数组。我们知道勾股数组的表达式：m2-n2,2mn,m2+n2.现在我们对其中的三个数相乘：
abc=(m2-n2)(2mn)(m2+n2)
=2mn(m4-n4)
=2mn[(m4-1)-(n4-1)]
=2mn(m4-1)-2mn(n4-1)
=2m(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+2n(m-2)(m-1)m(m+1)(m+2)-10m(n-1)n(n+1)-10n(m-1)m(m+1)
由于连续三个自然数相乘能被3!=6整除，连续五个自然数能被5!=60整除，上式中右边的每一项都能被60整除，最终abc就能被60整除，即60|(abc),由于a,b,c两两互素，所以最终我们就得出结论：
在勾股数组(a,b,c)中，必然有一个数能够被3整除，一个数能被4整除，一个数能被5整除。
在上面的证明中，我们用了一个很重要的结论：连续n个自然数相乘能被n!整除。这是一个非常重要的结论，至于为何这个结论成立，你可以参考组合数，如果你能想通组合数是个整数，你就能想通这个问题。
文章来源：学夫子数学博客
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