【稳定极限los角度】用极限的角度看圆锥曲线
众所周知，圆锥曲线是具有很多共同特征的一类曲线，我们熟知的就是他们都有着统一的“第二定义”，到定点与到定直线的距离之比为一常数e的点的轨迹，就是圆锥曲线，当e小于1，就是椭圆，当e大于1，就是双曲线，当e=1，就是抛物线。在这三者之间，要数椭圆和圆锥曲线最为亲密；因为不仅是第二定义，就是从第一定义我们也能看出二者的端倪。今天我们就从极限角度来看待这个问题。1：当圆锥曲线的轴不断扩大
现在考虑椭圆mx2+ny2=1，当m保持不变，而n越来越小，椭圆的图像会变成什么样？
上图就是固定m，减小n的图示，你会发现，椭圆越来越扁，沿Y轴方向变得原来越长。如果我们考虑极限化的状态，当n减小到零的时候，图像会是什么样子？不管是从图像推断，还是从方程推断，我们都应该知道，若m减小到零，椭圆的图像就变成两条直线，也就是x=±1/m。
当然我们今天要的不是这个结果。我们现在看，如果考虑椭圆方程的一般形式，n逐渐减小，就是b越来越大。我们可以把椭圆看成两个部分，以Y轴为分界线，左边的一个半椭圆以及右边的一个半椭圆。不管你椭圆是怎么个形状，两个半椭圆相交于点±b，当b逐渐增大，最后变道正无穷的时候，图像变成了两条平行直线，按前面的一直推下去的话，完全可以认为这两条平行线相交于无穷远的地方。
不要小看这个看似荒唐的结论，因为“两条平行线相交于无穷远处”这条结论，是现代射影几何的基础公理，他能让很多问题变得非常简单，也使得整个射影几何体系变得很严密。
2：当b超越了无穷
现在我们换个思路，当n减小到零以后，原则说以及无法在减小了，因为椭圆方程的n和m都是大于零的，那么什么时候才能继续减小？那就是当进入复数领域的时候，如果b为虚数，那么m就变成了负数，如此m就比0更加小，这时候图像变成了什么？我们以及知道，这是图像变成了双曲线。
你可以想象下面的变化过程：椭圆逐渐项Y轴两端扩张，扩张到最后变成了两条平行直线，然后他继续向同一方向扩张，从直线再次变成曲线，就变成了双曲线。
如果根据b的变化看的话，那么整个过程就是：b首先逐渐扩大，最后扩大到无穷，就变成了两直线，无穷是什么？无穷就是不可能的地方，现在b值超越了这个不可能的地方，迈进了“虚拟”的境界——虚数，便成为了双曲线。
文章来源：学夫子数学博客
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