riemann sum|Riemann 猜想漫谈 (十九)
作者：卢昌海三十四.“豪华版”Riemann猜想
本节我们来介绍“豪华版”的Riemann猜想。所谓“豪华版”，顾名思义，就是要比“普通版”更高一筹，后者有的前者都得有，而且还得有新东西。对于数学命题来说，这意味着得比原命题更强、更普遍，将原命题包含为自己的特例。那样的命题如果成立，原命题就自动成立，但反过来则不然(否则两者就等价了，对不住“豪华版”这一光荣称号)。
“豪华版”Riemann猜想与上节介绍的“山寨版”Riemann猜想虽分属不同类别，有一点却是共同的，那就是都得从对Riemannζ函数的变通入手，因为Riemann猜想所关注的无非就是Riemannζ函数非平凡零点那些事儿，对它的各种变通，归根到底也就是对Riemannζ函数的变通。只不过“山寨版”Riemann猜想中的Riemannζ函数只需与普通Riemannζ函数有抽象的对应即可，而“豪华版”Riemann猜想中的Riemannζ函数却必须将后者包含为自己的特例，以保证猜想的“豪华”性。Riemann猜想的“豪华版”有不止一款，我们将着重介绍其中有代表性的两款。
我们首先介绍一款较浅显的，叫做广义Riemann猜想(generalizedRiemannhypothesis)。当然，这里所谓的“浅显”，绝不是指容易证明(挂有“Riemann猜想”这一招牌的东西哪会有容易证明的？)，而是指相对来说比较容易介绍。这一“豪华版”Riemann猜想所采用的变通后的Riemannζ函数叫做DirichletL函数(DirichletL-function)，它是一个级数的解析延拓，那个级数叫做DirichletL级数(DirichletL-series)，通常记为L(s,χk)，其定义是(k、n为正整数)[注一]：
L(s,χk)=Σnχk(n)n-s(Re(s)>1)
读者们想必还记得，普通Riemannζ函数也是一个级数，即(n为正整数)
ζ(s)=Σnn-s(Re(s)>1)
的解析延拓(不记得的读者请参阅第二节)。这个级数有一个不太常用的名称，叫做p级数(p-series)。这个名称之所以不常用，是因为它一般只表示s为实数的情形，比上述Riemannζ函数的级数表达式的定义域小得多。不过为行文便利起见，我们在本节中将用它来称呼上述级数。
对比这两个级数，不需要很厉害的眼力就可以看出两者的相似性，以及DirichletL级数是p级数的推广这一表观特点——因为后者无非就是前者中各项系数χk(n)全都等于1的特例。不过，要想确认这一表观特点，必须得知道χk(n)的定义，尤其是得知道χk(n)是否真的能全都等于1，因为χk(n)并不是任意的系数，而是一组被称为Dirichlet特征(Dirichletcharacter)的东西[注二]，它们能否全都等于1不是可以随意假定的，而必须是由定义来决定。那么，χk(n)的定义是什么呢？是由以下三个条件共同构成的(k为正整数，m、n为整数)：
1.对一切n，χk(n)=χk(n+k)，
2.对一切m和n，χk(m)χk(n)=χk(mn)，
3.对一切n，若k和n互素，则χk(n)≠0，否则χk(n)=0。
由上述定义不难证明(请读者自行完成)，对一切n，χ1(n)=1。因此χk(n)全都等于1的确是χk(n)的一组可能的取值(即k=1的特殊情形)。这表明DirichletL级数确实是p级数的推广。当然，这也意味着作为相应级数解析延拓的DirichletL函数是Riemannζ函数的推广。
与p级数在Re(s)>1的区域内可以写成连乘积表达式(即Euler乘积公式)相类似，DirichletL函数在Re(s)>1的区域内也可以写成连乘积表达式：
L(s,χk)=Πp[1-χk(p)p-s]-1
其中右边的连乘积针对所有的素数进行。与Riemannζ函数及Euler乘积公式包含了素数分布的信息(参阅第三节)相类似，DirichletL函数及上述连乘积表达式可以用来研究算术级数(arithmeticprogression)中的素数分布[注三]。1837年，德国数学家JohannDirichlet(1805-1859)进行了那样的研究，得到了所谓的Dirichlet算术级数定理(Dirichlet"stheoremonarithmeticprogressions)[注四]。他那项研究在数论历史上有着重要地位，被视为是解析数论(analyticnumbertheory)这一分支领域的开山之作。正是为了纪念Dirichlet的重大贡献，人们以他的名字命名了DirichletL级数、DirichletL函数、以及Dirichlet特征等术语。
可以证明，DirichletL函数作为DirichletL级数的解析延拓，与Riemannζ函数一样，是复平面上的亚纯函数(其定义参阅第二节)。DirichletL函数与Riemannζ函数的相似性是相当广泛的，比如它也满足类似于Riemannζ函数所满足的那种函数方程。此外，DirichletL函数的零点也有平凡与非平凡之分，非平凡零点也全都位于0<Re(s)<1的带状区域(即临界带)内。而所谓的广义Riemann猜想，则是宣称DirichletL函数的所有非平凡零点也全都位于Re(s)=1/2的直线(即临界线)上，即：
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广义Riemann猜想：DirichletL函数的所有非平凡零点都位于复平面上Re(s)=1/2的直线上。
由于DirichletL函数是Riemannζ函数的推广，因此广义Riemann猜想显然是Riemann猜想的推广。在所有“豪华版”Riemann猜想中，广义Riemann猜想是被引述得最为广泛的，有大量数学命题的成立是以这一猜想的成立为前提的[注五]。不仅如此，与Riemann猜想的成立可以给出对素数分布的最佳估计相类似，广义Riemann猜想的成立可以给出对算术级数中的素数分布的最佳估计。
我们要介绍的第二款“豪华版”Riemann猜想叫做扩展Riemann猜想(extendedRiemannhypothesis)[注六]，它所采用的变通后的Riemannζ函数则叫做Dedekindζ函数(Dedekindzetafunction)，是以德国数学家RichardDedekind(1831-1916)的名字命名的。这一函数也是一个级数的解析延拓，只不过该级数的定义是需要多费一些口舌才能介绍清楚的。我们先把定义写下来：
ζK(s)=ΣIN(I)-s(Re(s)>1)
粗看起来，这个定义并不复杂，与普通Riemannζ函数的p级数表达式相比，只不过是在左侧的函数名称上添了一个下标K，把右侧级数中的n换成N(I)，再把对n的求和换成了对I的求和而已。不过，这种简单性纯粹是数学符号的简洁性带来的幌人耳目的表面现象。事实上，这里的每一处看似细小的差别，即K、I和N(I)的背后都大有文章。我们先把它们的名称写下来，让大家感觉一下它们一个比一个递进的陌生性。它们的名称是什么呢？
•K是数域；
•I是数域K的整数环的非零理想；
•N(I)是数域K的整数环的非零理想I的绝对范数。
如果你不是很熟悉代数学的话，上面这些名称看了估计就跟没看一样——如果不是更犯晕的话。数学是一个高度抽象的领域，试图了解一个陌生数学分支中的概念，有时就像初学英语者拿着英-英词典(English-Englishdictionary)查找单词一样，往往在查找到的解释之中又夹杂着新的陌生词汇，大有发生“链式反应”(chainreaction)之势。上面的努力就是一个例子，我们想知道什么是Dedekindζ函数，于是查找到它的级数表达式，但在级数的定义中却冒出了诸如“数域”(numberfield)、“整数环”(ringofinteger)、“理想”(ideal)、“绝对范数”(absolutenorm)之类的陌生名称。而为了解释这些陌生名称，天知道会不会遇到其它陌生名称。但既然我们已决定要介绍“豪华版”的Riemann猜想，就只好硬着头皮一个一个啃下去了。
先说说“数域”这个概念。这是一个相对简单的概念，对多数读者来说，可能是上述诸名称中唯一一个眼熟的概念，尤其是我们在第三十二节中还刚刚介绍过什么是“域”。但简单归简单，它却也没有简单到可以望文生义成“数字组成的域”(否则它跟“域”基本就是一回事了)。那么，究竟什么是数域呢？它是有理数域(fieldofrationalnumbers)的有限次代数扩张域(finitealgebraicextensionfield)。果然，不解释还好，一解释“链式反应”就又来了：什么是有理数域的“代数扩张域”？什么又是“有限次”代数扩张域呢？所谓有理数域的代数扩张域，指的是那样一个域，其中所有元素都是系数为有理数的代数方程的解(忘了什么是“代数方程”的读者请温习第三十二节)。那样的元素(即数域中的“数”)被称为代数数(algebraicnumber)，而数域本身则因此也被称为代数数域(algebraicnumberfield)。数域的一个很简单的例子是所有形如a+b√2(a,b为有理数)的数构成的域(请读者自行证明这样的数构成一个域，并且每个这样的数都是一个系数为有理数的代数方程的解)。a+b√2这一形式让人联想起向量空间(vectorspace)中用一组基(basis)表示向量的做法——其中1和√2扮演基的作用，a和b则是任意向量在该组基下的分量。这种从向量空间角度看待代数扩张域的做法有一定的普适性，相应的向量空间的维数(对a+b√2这一例子来说是2)称为代数扩张域的度数(degree)。度数有限的代数扩张域就称为有限次代数扩张域。这样我们就解释了什么是有理数域的有限次代数扩张域，即数域了[注七]。
接下来说说数域的“整数环”这一概念。要说整数环，首先得说说“整数”，因为这里所谓的整数并不仅仅是大家在小学课上学过的那些整数，而是所谓的代数整数(algebraicinteger)。我们上面说过，数域中的元素都是代数数，即系数为有理数的代数方程的解。如果那代数方程的系数不仅为有理数，而且是整数，并且首系数(即幂次最高项的系数)为1，那么它的解就是所谓的代数整数[注八]。粗看起来，这种数跟整数似乎没什么共同点，它们为什么被称为代数整数呢？原因有好几条：
•首先，所有普通整数都是代数整数(请读者自行证明)。
•其次，所有代数数都可以表示为代数整数的商，就如同所有有理数都可以表示为普通整数的商。
•最后，代数整数与普通整数一样，对加法、减法和乘法封闭，但对除法不封闭(即两个代数整数的商未必仍是代数整数)。
可以证明，一个数域中的所有代数整数构成一种特殊的代数结构，叫做环(ring)。环这一概念是Dedekind提出的(名称则是Hilbert引进的)，它是一种比域更简单的结构，相当于在域的定义中去除了乘法交换律，及每个非零元素存在乘法逆元素这两个要求[注九]。由一个数域K中的所有代数整数构成的环就叫做该数域的整数环。作为一个例子，如果数域是有理数域，则可以证明代数整数正好就是普通整数(事实上，对任意数域，一个代数整数如果是有理数，它就必定是一个普通整数)，而整数环则恰好就是全体整数的集合，即整数集。
说完了整数环，再说说整数环的“理想”。这“理想”当然绝不是中国大陆读者们从小耳熟能详的“无产阶级革命理想”之类的东西，而是一个不折不扣的数学概念。这个概念也是Dedekind提出的，是环的一种子集，是对德国数学家ErnstKummer(1810-1893)早些时候提出的一个叫做“理想数”(idealnumber)的概念的推广(其名称也由此而来)。对于我们所讨论的情形来说，理想是整数环的一个子集，对加法、减法和乘法封闭，包含零元素，并且它的任意元素与整数环的任意元素的乘积仍在该子集内[注十]。从某种意义上讲，理想这个概念跟“0”这个概念有一定的相似性，因为0乘以任何数仍然是0，与理想所满足的“它的任意元素与整数环的任意元素的乘积仍在该子集内”相似。事实上，以0为唯一元素的子集确实是任何环的理想，称为零理想(zeroideal)，而理想这个概念与0之间的相似性，则可以用来对环中的元素进行约化，即通过把理想视为广义的0，把通常建立在两个元素之差等于0基础上的元素相等概念中的0换成理想，而对环中的元素进行分类(大家很快就会看到一个例子)。一个环的理想是不唯一的(否则Dedekindζ函数的级数表达式中对理想I的求和就没什么意义了)，比如对于整数集(即有理数域的整数环)这一特例来说，所有形如{...-2n,-n,0,n,2n,...}(n为非负整数)的集合都是理想(请读者们依据理想的定义予以验证)，这种集合通常被记为nZ(Z是表示整数集的符号)，整数集的所有理想都具有这种形式。
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最后要介绍的是理想的“绝对范数”。我们刚才说过，从某种意义上讲，理想这个概念跟“0”这个概念有一定的相似性。这一点，连同整数集的理想是nZ(n为非负整数)这一结果，使我们联想起第三十二节中介绍过的模算术，因为一个以n为模的模算术的基本特点就是n具有0的算术性质——比如在以12为模的模算术(即刻度数目为12的Gauss时钟这一特例)中，12具有0的算术性质(参阅第三十二节的[注二])。事实上，不仅n，所有等于n整数倍的数，即形如...-2n,-n,0,n,2n,...的数(也就是理想nZ中的所有元素)，在以n为模的模算术中都具有0的算术性质，而任意两个其差等于这种数(也就是属于理想nZ)的数则被视为相等，这正是我们上面所说的用理想来对环中的元素进行约化的一个例子。一般地讲，用理想对一个环中的元素进行约化类似于模算术的推广，即将两个数的相等定义为其差属于该理想。那么什么是一个理想的绝对范数呢？它就是用该理想对环中的元素进行约化后不同元素的数目。对于整数集的理想nZ这一特例来说，约化后的不同元素只有n个，即0,1,...,n-1(这也正是相应的Gauss时钟的刻度数目)，因此该理想的绝对范数是n。
这样，我们就走马观花般地完成了对Dedekindζ函数的级数表达式的介绍。不仅如此，在介绍的过程中——不知读者们有没有意识到——我们其实已完成了对K为有理数域这一特例下Dedekindζ函数的计算！计算的结果是什么呢？让我们来挑明一下：
•首先，在介绍整数环时我们说过，有理数域K的整数环恰好就是整数集；
•其次，在介绍理想时我们说过，整数集的理想I全都是形如nZ的集合；
•最后，在介绍绝对范数时我们说过，理想nZ的绝对范数是n。
把这些结果合并起来，我们可以看到，对于K为有理数域这一特例，Dedekindζ函数中对非零理想I的求和实际上是对正整数n的求和(因为n=0所对应的是零理想，从而被排除)，而相应的绝对范数N(I)=n，因此Dedekindζ函数的级数表达式可以写成(其中数域K的符号被换成了有理数域的符号Q)：
ζQ(s)=Σnn-s(Re(s)>1)
这个表达式大家一定认出来了，它就是普通Riemannζ函数的级数表达式p级数。因此，ζQ(s)=ζ(s)，这表明Riemannζ函数是Dedekindζ函数的特例，而Dedekindζ函数与DirichletL函数一样，是Riemannζ函数的推广。与后两者一样，Dedekindζ函数也可以写成类似Euler乘积公式的连乘积表达式：
ζK(s)=ΠP[1-N(P)-s]-1
其中连乘积所针对的是所谓的“素理想”(primeideal)，通常表示为P。这里我们不幸再次遇到了“链式反应”，即“素理想”这一概念。什么是素理想呢？对于我们所讨论的情形来说，它是这样一种理想，如果整数环中的两个数的乘积在该理想之中，那么两个数中至少有一个数本身就在该理想中。对于有理数域的整数环——即整数集——来说，一个理想nZ为素理想当且仅当n为素数(这一点的证明十分容易，请读者们自己完成)。显然，在这种情况下，上述连乘积公式完全等同于Euler乘积公式(因为对素理想P的求积就是对素数p的求积)。
当然，以上介绍的还只是Dedekindζ函数在Re(s)>1上的级数表达式。不过与DirichletL函数一样，它也可以被解析延拓为整个复平面上的亚纯函数，而且也满足类似于Riemannζ函数所满足的函数方程。这些结果是德国数学家(又是德国数学家，本节几乎从头至尾都在介绍德国数学家的成果)ErichHecke(1887-1947)所证明的。不仅如此，Dedekindζ函数的零点也同样有平凡与非平凡之分，非平凡零点全都位于0<Re(s)<1的带状区域(即临界带)内。有了这些结果，扩展Riemann猜想的表述也就一目了然了，那就是：
扩展Riemann猜想：Dedekindζ函数的所有非平凡零点都位于复平面上Re(s)=1/2的直线上。
由于Dedekindζ函数是Riemannζ函数的推广，因此扩展Riemann猜想也显然是Riemann猜想的推广，从而是“豪华版”的。
从上面的介绍中我们看到，广义Riemann猜想与扩展Riemann猜想作为普通Riemann猜想的推广，是建立在对Riemannζ函数的两种不同推广之上的，前者是DirichletL函数，后者则是Dedekindζ函数。我们还看到，无论DirichletL函数还是Dedekindζ函数，都与普通Riemannζ函数有着极大的相似性。这种令人瞩目的相似性也许会启示读者问这样一个问题，那就是这些彼此相似的函数是否可以被统一起来，纳入一个更宏大的框架中，成为一类更广泛的函数的特例呢？这是一个好问题，它的答案是肯定的。事实上，DirichletL函数与Dedekindζ函数都是一类被称为自守L函数(automorphicL-function)的涵盖面更广泛的函数的特例。大家也许还会进一步问：自守L函数是否也有相应的“豪华版”Riemann猜想呢？这也是一个好问题，它的答案也是肯定的。这种涵盖面更广泛的函数也有一个“豪华版”的Riemann猜想，堪称是“史上最豪华”的Riemann猜想，它的名字很气派，叫做“大Riemann猜想”(grandRiemannhypothesis)[注十一]。不过，自守L函数这一概念所牵涉的“链式反应”十分剧烈，而建立在这一概念之上的大Riemann猜想的应用却极少(这种应用的多寡主要体现在有多少数学命题以假定其成立为前提)，我们就不详加介绍了。在这里，我们只把大Riemann猜想的内容叙述一下(其实不叙述大家应该也已不难猜到)，那就是：
大Riemann猜想：自守L函数的所有非平凡零点都位于复平面上Re(s)=1/2的直线上。
当然，这里的“非平凡零点”仍是指位于0<Re(s)<1(即临界带)内的零点。大Riemann猜想包含了普通Riemann猜想、广义Riemann猜想、扩展Riemann猜想、以及若干有名字或没名字的其它“豪华版”Riemann猜想为其特例，它若能被证明，则Riemann猜想这一研究领域几乎就被一锅端了。不过从目前的情况来看，我们距离这一天还差得很远。事实上，别说是大Riemann猜想，有关自守L函数的许多简单得多的性质，比如它的解析延拓及函数方程等，也都还是未被普遍证明的东西。（来源：科学松鼠会）
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riemannian图
