导数切线方程的求法浅谈切线方程的求法及综合应用

【导数切线方程的求法】浅谈切线方程的求法及综合应用

浅谈切线方程的求法及综合应用
　　
　　在初中时就学过圆的切线，高中又学过切线方程的求法，由于这一内容比较单一，方法简单，在高考中出现不多。但教材改革以后，引入了导数的概念，切线的内容得到巨大的丰富和充实，且灵活多样，迅速成为高考的一个重点内容，成为高考的一个热点问题。认真全面学习切线知识，灵活掌握切线方程的各种求法，成为我们平时学习的重要内容，也是高考备考复习的一个重要知识点。
　　
　　曲线的切线方程的求法主要分为切线过曲线上一点和切线过曲线外一点两种情况。
　　
　　一．    过曲线上一点求曲线的切线方程
　　
　　过曲线上一点求曲线的切线方程，主要在于求切线的斜率，这
　　
　　类题目方法比较简单明了，但不同方法的计算量相差很大。
　　
　　例1已知抛物线的方程为y=x2，求过点A（1，1）的抛物线的切线方程。
　　
　　法1：已知一个点的坐标，求直线的方程，关键是求直线的斜率。设直线方程为y－1=k(x－1)即y=kx－k+1，代入抛物线的方程得
　　
　　x2－kx+k－1=0
　　
　　因为A是切点，所以方程有两个相等的实根，
　　
　　即有重根，则判别式                                                          

　　
　△=k2－4(k－1)=0得k=2


　　
　　所以所求切线方程为y－1=2(x－1)即2x－y－1=0
　　
　　法2：由于学习了导数，导数反映了函数在某点处的变化率，它的几何意义就是相应曲线在该点处切线的斜率，所以可以利用导数来求切线的斜率，这种方法计算量要小很多。
　　
　　∵y`=2x，∴y`|x=1=2即k=2
　　
　　所以所求切线方程为y－1=2(x－1)即2x－y－1=0
　　
　　例2曲线y=2x－x3在横坐标为－1的点处的切线为l，则l的方程为。
　　
　　Ax+y+2=0Bx－y=0Cx+y－2=0Dx－y+2=0
　　
　　分析：∵x=－1，∴y=－1即切点为（－1，－1）
　　
　　又∵y`=2－3x2，∴y`|x=—1=－1即k=－1
　　
　　所以所求切线方程为y+1=－(x+1)即x+y+2=0即答案为A
　　
　　二过曲线外一点求曲线的切线方程
　　
　　这类问题的求解往往没有前一类题目那么直接，它要充分考虑题目已知条件，抓住切线的定义，挖掘题目的隐含条件，寻找解题的等量关系。
　　
　　例3求过点P（2，4）和圆(x－1)2+(y－1)2=1相切的直线方程。
　　
　　法1：直接设直线方程为y－4=k(x－2),将直线方程代入圆的
　　
　　方程。因为直线和圆相切，所以所得方程有重根，先由判别式△=0求出k,再求得切线方程。但这一方法计算量较大。
　　
　　法2设直线方程为y－4=k(x－2)，即kx－y+4－2k=0，因为直线和圆相切，则圆心（1，1）到切线的距离等于半径，得
　　
　　=1,得k=
　　
　　所以切线方程为y－4=(x－2)
　　
　　即4x－3y+4=0

　　
　　但从图形可知切线有两条，怎么少了一条呢？实际上前面假设直线方程的前提条件是直线存在斜率，但当直线斜率不存在时，方程为x=2,它也是圆的切线。因此所求圆的切线方程为x=2或4x－3y+4=0。
　　
　　例4求过A（1，0）的抛物线x2=2y的切线方程
　　
　　法1利用切线性质求解
　　
　　设切线方程为y=k(x－1)，代入抛物线的方程得
　　
　　x2－2kx+2k=0
　　
　　由切线性质可知方程有重根，则
　　
　　△    =（－2k）2－4×2k=0得k=2或k=0
　　
　　所以所求切线方程为y=0或y=2(x－1)
　　
　　法2利用导数求解
　　
　　设切点坐标为（x0,y0），切线的斜率为k
　　
　　∵y=x2∴y`=x∴k=y`|x=x=x0
　　
　　则切线方程为y=x0(x－1)，得y0=x0×(x0－1)，但这只有一个方程，还要寻找其它关系。由于切点是切线和抛物线的交点，它既在切线上，也在抛物线上，得y0=x02
　　
　　解方程组得x0=0或x0=2即k=0或k=2
　　
　　所以所求切线方程为y=0或y=2(x－1)
　　
　　说明：在这两种方法中，反而利用旧方法计算方便些。
　　
　　（2004天津高考）例5已知函数f(x)=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值，过点A（0，16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线的方程。
　　
　　分析：这题就只能利用导数来求解。
　　
　　∵f(x)=ax3+bx2－3x∴f`(x)=3ax2+2bx－3
　　
　　依题意得f`(1)=f`(－1)=0即
　　
　　解得a=1,b=0
　　
　　∴f(x)=x3－3x，则点A不在该曲线上，设切点坐标为（x0,y0），切线的斜率为k，
　　
　　∵f`(x)=3x2－3∴k=f`(x0)=3x02－3
　　
　　则切线方程为y－16=3(x02－1)x，由于切点（x0,y0）既在切线上，又在抛物线上得
　　
　　得x0=－2则k=3×(－2)2－3=9
　　
　　所以所求则切线方程为y－16=9x即9x－y+16=0
　　
　　三切线的综合应用
　　
　　引入导数后，切线方程的综合性明显加强，极易和其它数学知识相结合，成为新旧知识的一个交汇点，极大地丰富了和切线方程相关的题型，扩大考查的知识点和解题方法，也频频出现在高考等各类考试中。
　　
　　（2004济南统考题）例6点P在曲线y=x3－x+上移动，过点P切线的斜率的取值范围是。
　　
　　分析：此题是切线方程和二次函数的综合应用，利用导数求解非常简便。
　　
　　∵y`=3x2－1≥－1∴k=y`≥－1
　　
　　例7已知点A（0，－4），B（3，2），在抛物线y=x2上找一点，使它到直线AB的距离最短。
　　
　　分析：此题是切线方程和最值的综合应用。
　　
　　从抛物线的性质可知，当直线AB平行移动到和抛物线相切时，切点到直线AB的距离最短。
　　
　　直线AB的斜率k==2
　　
　　∵y`=2x∴k=y`|x=x=2x0=2得x0=1,y0=x02=1
　　
　　所以抛物线y=x2上点（1，1）到直线AB的距离最短。
　　
　　（2004黄冈、荆州联考题）例8设曲线y=x2与曲线y=－x2+x+1(x>0),在它们交点处的两切线的夹角为θ，则tanθ=()
　　
　　A2BC3D
　　
　　分析:此题是切线方程和两直线的夹角的综合应用。
　　
　　解方程组(x>0)得
　　
　　由曲线y=x2得y`=2x则它的斜率k1=y`|x=1=2
　　
　　由曲线y=－x2+x+1(x>0)得y`=－2x+1则它的斜率k2=y`|x=1=－1
　　
　　∴tanθ===3，即答案为B
　　
　　（2003天津高考）例9设a>0，f(x)=ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为，则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为（）
　　
　　ABCD
　　
　　分析：此题是切线方程和点到直线距离的综合应用。
　　
　　∵切线的倾斜角的取值范围为，
　　
　　∴切线的斜率k的取值范围为
　　
　　又因为f`(x)=2ax+b,则k=f`(x0)=2ax0+b
　　
　　∴0≤2ax0+b≤1
　　
　　∵P到曲线y=f(x)对称轴距离
　　
　　d=|x0－(－)|=
　　
　　∴0≤d≤，即答案为B
　　
　　（2004广东高考）例10设函数f(x)=,x>0，点P(x0,y0)
　　
　　(0<x0<1)在曲线y=f(x)上，求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正方向围成的三角形面积表达式（用x0表示）
　　
　　分析：此题是切线方程和三角形面积的综合应用，用新旧两种方法都能求解，但是用导数求解要方便简单些。
　　
　　∵0<x<1,∴y=f(x)==－1
　　
　　∴f′(x)=－,则切线的斜率k=f`(x0)=－
　　
　　∴曲线在点P处的切线方程为y－y0=－(x－x0)
　　
　　∴切线与x轴和y轴的正方向的交点为（x0(2－x0),0）和(0,(2－x0))
　　
　　所以所求三角形面积表达式为
　　
　　A(x0)=x0(2－x0)×(2－x0)=(2－x0)2
　　
　　新教材新增了不少新的知识点，也就增加不少新的解题方法，加大了解题的综合性，扩大解题的视野。所以我们在平时的学习中，在高考的备考中，都要同时考虑新旧两类知识，同时思考新旧两种方法，才能寻得正确的解题方法，才能寻得最佳的解题方法，提高解题效率，提升我们的解题能力。
　　

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