【数学史上的三次危机】数学史上的伟大猜想——哥德巴赫猜想

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  哥德巴赫猜想手稿

  哥德巴赫

  18世纪的领袖数学家拉格朗日有一个著名的定理,即任何一个正整数都能写成四个整数的平方和。这个定理是费马早年的猜测,与拉格朗日同时代的大数学家欧拉曾经给出一个不完整的证明。第一个完整的证明是拉格朗日给出的。他在完成这个工作之后很感慨,在给欧拉的一封信中,他说:“对我来说,算数是最难的。”这里所谓的“算数”就是数论。这是拉格朗日对数论的评价。

  而数论的历史上最伟大的一个猜想恐怕要数“哥德巴赫猜想”了。哥德巴赫是德国一位中学教师,也是一位著名的数学家,生于1690年,1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。

  1742年6月7日,哥德巴赫(christiangoldbach,1690年3月18日~1764年11月20日)提出著名的数学猜想。他在给数学家欧拉的信中提出被后人称作“哥德巴赫猜想”(goldbachconjecture)的数论命题。

  在这封信中,哥德巴赫提出:(1)任何一个≥6的偶数,都可以表示成两个奇质数之和;(2)任何一个≥9的奇数,都可以表示成三个奇质数之和。

  1742年6月30日欧拉给哥德巴赫的回信中写道:

  “正如在你给我的来信中所观察到的那样,每个偶数看来是两个素数之和,还蕴藏着每个数如果是两个素数之和,则它可以是任意多个素数之和,个数由你而定。如果给定一个偶数n,则它是两个素数之和,对n-2也是如此,则n是三到四个素数之和。如果n是奇数,则它一定是三个素数之和,因为n-1是两个素数之和。所以,n是一个任意多个素数之和。虽然我现在还不能证明,但我肯定每个偶数是两个素数之和……”

  哥德巴赫猜想貌似简单,要证明它却着实不易,成为数学中一个著名的难题。18~19世纪,所有的数论专家对这个猜想的证明都没有作出实质性的推进,直到20世纪才有所突破。

  现在常见的猜想陈述为欧拉版本的表述,即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和,亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。

  从关于偶数的哥德巴赫猜想,可推出:任一大于7的奇数都可写成三个质数之和的猜想。后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。弱哥德巴赫猜想尚未完全解决,但1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇质数都能写成三个质数的和,也称为“哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理”或“三素数定理”。不过,维诺格拉多夫的所谓大奇数要求大得出奇,与哥德巴赫猜想的要求仍相距甚远。

  来源:中国科学报

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数学史与数学教育 数学史概论
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