两个重要不等式_几个重要不等式(二)柯西不等式
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柯西不等式的几种变形形式 1.设aiÎR,bi>0 (i=1,2,…,n)则 2.设ai,bi同号且不为零(i=1,2,…,n)，则 例1.已知a1,a2,a3,…,an，b1,b2,…,bn为正数，求证： 证明：左边= 例2.对实数a1,a2,…,an,求证： 证明：左边= 例3.在DABC中，设其各边长为a,b,c,外接圆半径为R，求证：
证明：左边³ 例4.设a,b,c为正数，且a+b+c=1,求证： 证明：左边= ³ = = 例5.若n是不小于2的正整数，试证： 证明：
所以求证式等价于 由柯西不等式有
于是： 又由柯西不等式有
< 例6.设x1,x2,…,xn都是正数(n³2)且 证明：不等式左端即 ∵ 由柯西不等式有 及 综合(1)、(2)、(3)、(4)式得：
三、排序不等式 设a1£a2£…£an,b1£b2£…£bn;r1,r2,…,rn是1,2,…,n的任一排列，则有： a1bn+ a2bn-1+…+ anb1£a1br1+ a2br2+…+ anbrn£ a1b1+ a2b2+…+ anbn 反序和£乱序和£同序和 例1.对a,b,cÎR+,比较a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小 解：取两组数a,b,c；a2,b2,c2，则有a3+b3+c3³a2b+b2c+c2a 例2.正实数a1,a2,…,an的任一排列为a1/,a2/,…an/，则有 证明：取两组数a1,a2,…,an； 其反序和为 例3.已知a,b,cÎR+求证： 证明：不妨设a³b³c>0,则 则 例4.设a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列，求证：
证明：设b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一个排列，且b1<b2<…<bn-1； c1,c2,…,cn-1是a2,a3,…,an的一个排列,且c1<c2<…<cn-1 则 利用排序不等式有：
例5.设a,b,cÎR+,求证： 证明：不妨设a³b³c,则 由排序不等式有：
两式相加得 又因为：a3³b3³c3>0, 故
两式相加得 例6.切比雪不等式：若a1£a2£…£an且b1£b2£…£bn,则 a1£a2£…£an且b1³b2³…³bn,则 证明：由排序不等式有： a1b1+a2b2+…+anbn= a1b1+a2b2+…+anbn a1b1+a2b2+…+anbn³ a1b2+a2b3+…+anb1 a1b1+a2b2+…+anbn³ a1b3+a2b4+…+anb2 ………………………………………… a1b1+a2b2+…+anbn³ a1bn+a2b1+…+anbn-1 将以上式子相加得： n(a1b1+a2b2+…+anbn)³ a1(b1+b2+…+bn)+ a2(b1+b2+…+bn)+…+ an(b1+b2+…+bn) ∴ |
，当且仅当bi=lai (1£i£n)时取等号
，当且仅当bi=lai (1£i£n)时取等号
，当且仅当b1=b2=…=bn时取等号
，求证：
(1)
，取
，则 
(2)
(3)
，原不等式的左边为乱序和，有
>0且a12³b12³c12>0
且b1³1,b2³2,…,bn-1³n-1；c1£2,c2£3,…,cn-1£n
，a2³b2³c2>0
