两个重要不等式|几个重要不等式
一、平均值不等式
设a1,a2,…, an是n个正实数，则
，当且仅当a1=a2=…=an时取等号
1.二维平均值不等式的变形
(1)对实数a,b有a2+b2³2ab (2)对正实数a,b有
(3)对b>0，有
，
(4)对ab2>0有
，
(5)对实数a,b有a(a-b)³b(a-b) (6)对a>0,有
(7) 对a>0,有
(8)对实数a，b有a2³2ab-b2
(9) 对实数a，b及l¹0，有
二、例题选讲
例1.证明柯西不等式
证明：法一、若
或
命题显然成立，对
¹0且
¹0，取
代入(9)得
有
两边平方得
法二、
，即二次式不等式
恒成立
则判别式
例2.已知a>0,b>0,c>0,abc=1,试证明：
(1)
(2)
证明：(1)左=
[
]
=
³
(2)由
知
同理：
相加得：左³
例3.求证：
证明：法一、取
，有
a1(a1-b)³b(a1-b), a2(a2-b)³b(a2-b),…, an(an-b)³b(an-b)
相加得(a12+ a22+…+ an2)-( a1+ a2+…+ an)b³b[(a1+ a2+…+ an)-nb]³0
所以
法二、由柯西不等式得： (a1+ a2+…+ an)2=((a1×1+ a2×1+…+ an×1)2£(a12+ a22+…+ an2)(12+12+…+12)
=(a12+ a22+…+ an2)n,
所以原不等式成立
例4.已知a1, a2,…,an是正实数，且a1+ a2+…+ an<1，证明：
证明：设1-(a1+ a2+…+ an)=an+1>0,
则原不等式即nn+1a1a2…an+1£(1-a1)(1-a2)…(1-an)
1-a1=a2+a3+…+an+1³n
1-a2=a1+a3+…+an+1³n
…………………………………………
1-an+1=a1+a1+…+an³n
相乘得(1-a1)(1-a2)…(1-an)³nn+1
例5.对于正整数n，求证：
证明：法一、
>
法二、左=
=
例6.已知a1,a2,a3,…,an为正数，且
，求证：
(1)
(2)
证明：(1)
相乘左边³
=(n2+1)n
证明(2)
左边= -n+2(
= -n+2×[(2-a1)+(2-a2)+…+(2-an)]( 
³ -n+2×n
