【正四棱锥性质】棱锥的概念和性质
教材的地位和作用“棱锥”这节教材是《立体几何》的第2.2节它是在学生学习了直线和平面的基础知识，掌握若干基本图形以及棱柱的概念和性质的基础上进一步研究多面体的又一常见几何体。它既是线面关系的具体化，又为以后进一步学习棱台的概念和性质奠定了基础。 因此掌握好棱锥的概念和性质尤其是正棱锥的概念和性质意义非常重要，同时，这节课也是进一步培养高一学生的空间想象能力和逻辑思维能力的重要内容。
2、教学内容
本节课的主要教学内容是棱锥、正棱锥的概念和性质以及运用正棱锥的性质解决有关计算和证明问题。通过观察具体几何体模型引出棱锥的概念；通过棱柱与棱锥类比引入正棱锥的概念；通过对具体问题的研究，逐步探索和发现正棱锥的性质，从而找到解决正棱锥问题的一般数学思想方法，这样做，学生会感到自然，好接受。对教材的内容则有所增减，处理方式也有适当改变。
3、教学目的
根据教学大纲的要求，本节教材的特点和高一学生对空间图形的认知特点，我把本节课的教学目的确定为：
（1） 通过棱锥，正棱锥概念的教学，培养学生知识迁移的能力及数学表达能力；
（2） 领会应用正棱锥的性质解题的一般方法，初步学会应用性质解决相关问题；
（3） 通过对正棱锥中相关元素的相互转化的研究，提高学生的空间想象能力以及空间问题向平面转化的能力；
（4） 进行辩证唯物主义思想教育，数学审美教育，提高学生学习数学的积极性。
4、教学重点，难点，关键
对于高一学生来说，空间观念正逐步形成。而实际生活中，遇到的往往是正棱锥，它的性质用处较多。因此，本节课的教学重点是通过对具体问题的分析和探索，自然而然地引出正棱锥的最重要性质及其实质；而如何将空间问题转化为平面问题来解决？本节课则通过抓住正棱锥中的基本图形这一难点实现突破，教学的关键是正确认识正棱锥的线线，线面垂直关系。
二、 教法分析
类比联想、研究探讨、直观想象、启发诱导、建立模型、学会应用、发展潜能、形成能力、提高素质。
由于本节课安排在立体几何学习的中期，正是进一步培养学生形成空间观念和提高学生逻辑思维能力的最佳时机，因此，在教学中，一方面通过电教手段，把某些概念，性质或知识关键点制成了投影片，既节省时间，又增加其直观性和趣味性，起到事半功倍的作用；另一方面，在教学中并没有采取把正棱锥性质同时全部讲授给学生的做法，而是通过具体问题的分析与处理，将正棱锥最重要的性质这一知识点发现的全过程逐步展现给学生，让学生体会知识发生、发展的过程及其规律，从而提高学生分析和解决实际问题的能力。
三、 学法指导
教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。根据立体几何教学的特点，这节课主要是教给学生“动手做，动脑想；严格证，多训练，勤钻研。”的研讨式学习方法。这样做，增加了学生主动参与的机会，增强了参与意识，教给学生获取知识的途径；思考问题的方法。使学生真正成为教学的主体。也只有这样做，才能使学生“学”有新“思”，“思”有所“得”，“练”有所“获”。学生才会逐步感到数学美，会产生一种成功感，从而提高学生学习数学的兴趣；也只有这样做，才能适应素质教育下培养“创新型”人才的需要。
四、 教学流程
1、课题引入
上一节课我们学习了棱柱的有关知识，当棱柱的上底面缩为一点时，想一想，其底面，侧棱有何变化？
（可将金字塔，帐篷的图片以及不同棱锥的模型依次出示给学生）
将现实生活的实例抽象成数学模型，获得新的几何体――棱锥。（板书课题）
2、引导启发
请同学们描述一下棱锥的本质特征？（学生观察模型，提示学生可以从底面，侧面的形状特点加以描述）
结论：（1）有一个面是多边形；
（2）其余各面是三角形且有一个公共顶点。
由满足（1）、（2）的面所围成的几何体叫做棱锥。
（设计意图：由观察具体事物，经过积极思维，归纳、抽象出事的本质属性，形成概念，培养学生抽象思维能力，提高学习效果。）
e a b c d o s ――棱锥的顶点 ――棱锥的侧棱 ――棱锥的底面 棱锥的高――――
名称及表示法。表示法：棱锥s－abcde
或棱锥s－ac。与棱柱相似，棱锥可以按
底面多边形的边数分为三棱锥，四棱锥、
五棱锥，···，n棱锥。
（设计意图：从简处理棱锥的表示法，
分类等，为后面重点解决正棱锥的性质问
题节省时间。）
由于实际生活中，遇到的往往是一种
特殊的棱锥――正棱锥，它的性质用处较多。
所以下面重点研究正棱锥的概念及性质。
通过对比正棱柱的定义，让学生描述正棱锥。
（拿出各式各样的棱锥模型让学生辨认）
讨论：底面是正多边形的棱锥对吗？联想正棱柱的定义，棱柱补充几点后才是正棱柱？
结论：底面是正多边形，并且顶点在底面射影是底面中心。为什么？
（设计意图：采用观察、联想、类比、猜想、发现的方法引出正棱锥的定义比课本直接给出显得自然，学生好接受）
3、引导证明
e a b c d o s
结论：各棱相等，各侧面是全等的等腰三角形。
为什么？
（学生口答证明）（略）
如果我们把等腰三角形底边上的高叫做正棱锥
的斜高，请在图2中作出两条斜高。（学生作出。）（略）
|
f |
|
g |
想一想：正棱锥的斜高与高有什么关系？
结论：斜高大于高，为什么？（可启发学生联系
垂线段，斜线段的有关知识，然后回答）
小结：对于一般棱锥其侧面不一定是等腰三角形。棱锥的高是指顶点到底面的距离，垂足可以在底面多边形内，也可以在底面多边形外，我们刚才所得到的性质都是对正棱锥而言的。
（设计意图：再次让学生领会类比、观察、猜想等合情合理得到正棱锥的性质之一并加以证明，培养学生的直觉思维能力的同时，训练学生数学思维的严谨性。）
4、 a b c d o m s
下面我们来研究如何利用正棱锥的性质解决具体问题：
例一：已知：正四棱锥s－－abcd中，底面边长为2，斜高为2。
求：（1）侧棱长；
（2）棱锥的高；
（3）侧棱与底所成的角的正切值；
（4）侧面与底面所成的角；
依题意，需画出正四棱锥的直观图，图3，
（简要说明画法，边说边画，下一节才讲直观图画法）
师生共同分析：需求哪量？怎样与已知联系？
（稍停后，学生口述，教师板书）
学生甲：连结so，由正棱锥的性质有so⊥面abcd，取bc中点m，连结sm，om，因为等腰△sbc，所以sm⊥bc在rt△smb中，sm＝2，bm＝
学生乙：rt△som中，om＝
学生丙：因为so⊥面ac ，所以∠sbo为侧棱与底面所成的角，在rt△sob中。tg∠sbo=
学生丁：因为sm⊥bc，om⊥bc，所以∠smo为侧面与底面所成的二面角的平面角，在rt△smo中，cos∠smo=
s o b m r r h h′ ι
将图3做成抽拉片，把彩色部分抽拉出，
让学生看起来更直观。图4。
让学生逐一回答图4中每一个直角三角形
三边的意义及涉及到的线面角、面面角。
小结：推广到一般正棱锥中都存在这个小
三棱锥，它是正棱锥中的基本图形，是正棱锥
的关键部分。它集中反映了正棱锥的线面关系
，将正棱锥中基本量l，h，h′，a，r，r，以
及侧棱与底面所成角，侧面与底面所
成的角，通过四个直角三角形有机地联系在一起，因而解题时可将题目中各量转化进这个小三棱锥中进行计算。
a b d c o v
5、运用
例2，已知：正三棱锥v－abc，vo为高，
ab＝6，vo＝
（要求学生独立思考，多种方法求解）
帮助学生理清题意，作出图形，图5。
（设计意图：在例一的基础上，让
学生自己分析，按照所获得的解题方法完
成解题过程，训练解题技能，并通过一题
多解，培养学生的发散思维能力。）
6、小结：
（1）本节课重点研究了正棱锥的性质，揭示了正棱锥的最本质特征。 （2）掌握用基本图形去解决正棱锥中有关问题的方法。
（设计意图：使学生对本节课所学知识的结构有一个清晰的认识，能抓住重点进行课后复习）
7、作业布置：
课本p62，2。3
补充题：已知：正棱锥的底面边长为a ，底面多边形的边心距为r，棱锥的高为h，
求：它的侧棱长。
（设计意图：使学生能巩固本节课所学知识和所获得的解题方法，培养学生自学学习的习惯，同时，对有余力的学生留出自由发展的空间）
本文来源：https://www.oubohk.cn/shuxue/23001/
四棱锥性质 三棱锥内切球性质
