[数学世纪难题]19世纪数学
19世纪数学（mathematicsin19thcentury）19世纪是整个人类文化发展史上的一个重要时期，近代自然科学在这一世纪发展到更深人、更全面的地步，在数学领域则表现出前所未有的发展和成就。非欧几里得几何学的诞生和射影几何学的复兴，函数论的创立与分析学的严格化，近世代数的创始，数学公理化运动的开端等，都是19世纪最典型的数学成就。空前的创造精神与高度的严格精神是19世纪数学发展的主要特征。18世纪数学发展的主流是微积分学的扩展，它与物理学、力学和天文学的问题密切相联。微积分的运用使这些自然科学领域迅猛发展，到18世纪末，已经达到一种相对完美的程度。这使得数学界产生一种对数学发展前途悲观的情绪，许多著名的数学家觉得数学源泉已经枯竭，例如拉格朗日在1781年给达朗贝尔的著名的信中就明显地表达了这种观点。而事实上，数学却正处于全面兴旺发达的前夜：18世纪的数学家忙于获取微积分的成果与应用，较少顾及其概念与方法的严密性，到18世纪末，为微积分奠基的工作已迫切地摆在数学家面前；另外，分析学之外的数学分支在18世纪也积累了一批重要问题，如复数的意义，欧氏几何中平行公设的地位，高次代数方程根式可解性等，在18世纪末已引起数学家们极大的关注；再者，从18世纪开始，自然科学出现众多新的研究领域，从数学外部给予数学以新的推动力。这些因素促成了19世纪数学的蓬勃发展。
19世纪欧洲的社会环境也为数学发展提供了适宜的舞台。法国资产阶级大革命所造成的民主精神和重视教育的风尚，鼓励大批有才干的青年进入数学教育和研究领域。法国在19世纪一直是最活跃的数学中心之一，涌现出一批优秀人才，如傅立叶、泊松、庞斯列、柯西、刘维尔、伽罗瓦、埃尔米特、若尔当、达布、庞加莱、阿达马等。法国革命的影响波及欧洲各国，使整个学术界思想十分活跃，冲击到所有禁区。英国新一代数学家克服了近一个世纪以来以牛顿为偶像的故步自封局面，成立了向欧洲大陆数学学习的“分析学会”，使英国进入世界数学发展的潮流。英国数学界的杰出人物有皮科克、格林、哈密顿、德·摩根、西尔维斯特、凯莱、布尔等。从18世纪下半叶起，德国的思想意识领域一直十分活跃，这对数学的发展产生了很大影响。从高斯登上数学舞台，德国逐渐成为与法国并驾齐驱的又一个世界数学中心。除高斯外，麦比乌斯、施陶特、普吕克、雅可比、狄利克雷、格拉斯曼、库默尔、外尔斯特拉斯、克罗内克、黎曼、戴德金、G．康托尔、C．F．克莱因、希尔伯特等都是19世纪最重要的数学家。处于数学中心之外的地区和国家，也出现了不少优秀人才，最杰出的有挪威的阿贝尔和S．李，捷克的波尔查诺，俄国的罗巴切夫斯基、切比雪夫和柯瓦列夫斯卡娅，匈牙利的波尔约，瑞典的米塔-列夫勒，瑞士的施泰纳，意大利的贝尔特拉米、里奇和皮亚诺等。这种人才辈出的局面在数学史上是空前的。
在19世纪，数学教学与研究有机地结合在一起，已成为一种社会职业。数学家人数与成果剧增，为交流研究成果，出现了一批数学期刊，最早问世的是法国的《纯粹与应用数学年刊》，最著名的有克雷尔创办的德文《纯粹与应用数学杂志》和刘维尔创办的法文《纯粹与应用数学杂志》（见外国数学期刊）。到19世纪后期，各国的数学会相继成立。最早成立的有莫斯科数学会（1864）、伦敦数学会（1865），之后创建的有法国数学会（1872）、美国数学会（1888）和德国数学家联合会（1890）等。在1897年，由各国数学会发起，在瑞士苏黎世召开了第一届国际数学家大会，以后成为一项定期举办的国际学术活动。
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1801年，高斯发表《算术研究》，这部象征近代数论起点的巨著，同时也打开了数学新世纪的大门。19世纪前的数论，有一些漂亮但孤立的成果，高斯将这些成果系统化，对问题及方法加以分类，同时开辟了全新的课题及方法。他在数论中树立了严格证明的典范，其观点代表了19世纪追求数学严密性的时代精神。狄利克雷是高斯数论工作的传播者和拓广者。高斯的《算术研究》十分难读，狄利克雷撰写了一部《数论讲义》，对高斯的思想进行解释和传播。1837年，他在证明每一个算术序列｛a＋nb｝（a,b互素）包含无穷多素数时，精心地使用了级数理论，他的工作开辟了近代解析数论的研究领域。黎曼在1859年发表的关于素数分布的论文中，研究了黎曼ζ函数，给出了ζ函数的积分表示与它满足的函数方程，并提出著名的黎曼猜想。他的工作极大地推动了解析数论的发展。在19世纪中叶，刘维尔开创了对超越数论的研究，他在1844年构造出历史上第一批超越数。1873年，埃尔米特证明了。是超越数，1882年，德国数学家林德曼证明了二是超越数，从而解决了古希腊数学家提出的化圆为方问题。19世纪超越数论的最高成就是林德曼和外尔斯特拉斯建立的著名定理。由高斯在19世纪初开创的代数数论的研究，经由戴德金和克罗内克等人的推进，成为内容丰富的现代数学分支。戴德金引进一种代数数类代替库默尔的理想数，重建了代数数域中的唯一因子分解定理，创立了理想论。克罗内克则另辟蹊径，得到相似的概念，并创立了有理函数域论，引进在域上添加代数量生成扩域的方法。1897年，希尔伯特发表《代数数域的理论》，用统一的观点将以往代数数论的全部知识汇成一个严密而宏伟的整体，为20世纪代数数论的发展开辟了道路。
非欧几里得几何学的发现是19世纪最富革命性的创造。自古希腊时代起，欧几里得几何学一直被认为是客观物质空间唯一正确的理想模型，是严格推理的典范。但欧氏几何的平行公设和其他公理、公设的关系曾引起历代数学家的关注，这个困扰了数学家几百年的问题，终于被高斯、罗巴切夫斯基和波尔约各自独立解决。高斯在1816年已认识到平行公设不可能在欧氏几何其他公理、公设的基础上证明，得到非欧几何的要领，但他担心受人指责而未公开发表。1826年前后，罗巴切夫斯基和波尔约几乎同时分别发现平行公设的不可证明性，并在平行公设不成立的假设下建立了一种新的几何体系。罗巴切夫斯基在1829-1830年发表的《论几何学基础》是最早的非欧几何文献，因此后人也称这种几何为罗巴切夫斯基几何学。非欧几何的技术细节是简单的，但观念的变革是深刻的。非欧几何的发现打破了2000多年来欧氏几何的一统天下，从根本上革新和拓广了人们的几何学观念，为几何学乃至整个数学及其应用开辟了崭新的途径。但是，由于非欧几何违背传统，所以在创立之初未受到数学界的重视，只是到高斯去世后，他关于非欧几何的通信和笔记出版时，才因高斯的名望而引起数学界的关注。非欧几何的真正确认是在1868年。这一年，贝尔特拉米发表重要论文，在伪球面上实现了罗巴切夫斯基几何，他在欧氏空间中给出直观上难以想像的非欧几何模型。之后，C．F．克莱因（1871）和庞加莱（1882）分别给出各自的非欧几何模型，说明非欧几何本身的相容性与欧氏几何一致，加速了人们接受非欧几何的进程。
在解析几何学产生后百余年内，代数的和分析的方法统治了几何学，几乎排斥了综合的方法。射影几何学在17世纪曾经有过相当活跃的时期，但很快被解析几何和微积分的兴起所淹没。随着18世纪后期学术思想的活跃和由蒙日等人唤起的对纯几何课题的重视，射影几何复兴了，并且成为19世纪上半叶最热门的课题。这项工作开始于卡诺，他研究了四个点和四条直线的交比及其射影不变性。紧接着，庞斯列沿着蒙日开辟的方向，探讨几何图形在任一投影下所有截景共有的性质。他的《论图形的射影性质》是射影几何的奠基性著作。之后，施泰纳运用综合法研究代数曲线和代数曲面，施陶特不依赖度量概念建立起射影几何体系，普吕克引入射影坐标，用代数方法研究射影几何的性质，等等。他们的工作丰富了射影儿何的内容。19世纪下半叶，数学家对射影几何的认识进一步深化。C．F．克莱因拓广凯莱关于射影度量的概念，把几种经典几何（欧氏几何、非欧几何等）都看成是射影几何的子几何，彻底澄清了射影几何与那些度量几何的关系，为几何学公理化运动开辟了方向。1882年，德国数学家帕施建立了第一个严格的射影几何演绎体系。
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19世纪的数学家在研究纯粹几何的同时，仍然十分注意分析方法在几何中的应用。微分几何学创立于18世纪，当时的内容仅涉及用分析方法研究位于欧氏空间的曲线、曲面的性质。高斯在19世纪20年代初开始研究微分几何学，他在1827年发表的《关于曲面的一般研究》开创了微分几何学的现代研究。在这篇论文中，高斯把握住微分几何中最重要的概念和带有根本性的内容，建立了曲面的内蕴几何学，这些工作有着深远的影响。微分几何学更重要的发展属于黎曼，他在1854年发表的就职讲演《关于几何基础的假设》中，发扬了高斯关于曲面的微分几何研究，他以二维微分形式定义流形的度量，给出流形曲率的概念，建立起任意维空间的内蕴几何。他还把欧氏几何、非欧几何都包罗在他的体系之中。黎曼的深刻思想在当时很少有人能理解，经19世纪60年代贝尔特拉米等人的介绍与推进，黎曼的理论才开始为广大数学家所领悟。
微积分学在18世纪已发展成为一门独立的学科，具备了极为丰富的内容和十分广泛的应用，但它自己尚未形成逻辑严密的理论体系，甚至它最基本的概念，如函数、导数、微分、积分、极限、函数的连续性等，都还没有给出严密的定义。19世纪分析的严格化开始于高斯、波尔查诺、柯西、阿贝尔和狄利克雷的工作，并由外尔斯特拉斯进一步发展。1812年高斯对超几何级数所进行的严密研究是数学史上第一项有关级数收敛性的重要工作。1817年，波尔查诺首先抛弃无穷小量概念，用极限观念给出导数和连续性的定义，并得到判别级数收敛的一般准则，但他的工作被长期忽视。柯西是对分析严格化影响最大的学者。他的《分析教程》除独立得到波尔查诺的结果外，还用极限概念定义了连续函数的定积分。这是建立分析严格理论的第一部重要著作。阿贝尔在1826年最早使用一致收敛的思想证明了连续函数的一个一致收敛级数的和在收敛区域内部连续。1837年，狄利克雷在研究三角级数的论文中给出现代意义下的函数定义。1841年以后，外尔斯特拉斯开始了将分析算术化的工作，他发展了柯西的极限概念，用ε-δ说法，给出函数连续性的确切定义。他还使用明确的一致收敛概念，使级数理论更趋完善。分析的严密化促进了实数系的逻辑基础的建立。1872年，外尔斯特拉斯、G．康托尔和戴德金等人在确认有理数存在的前提下，通过不同途径（戴德金分割、有理数的基本序列等）给无理数以精确定义。又经过不少数学家的努力，最终由皮亚诺在1889年发表的《算术原理》中建立了自然数的公理体系，并由此从逻辑上严格定义有理数。至此，分析的严格化运动告一段落。
在18世纪，欧拉、达朗贝尔和拉普拉斯等人联系着力学的发展，对于单复变函数已经做了不少工作，但函数论作为一门独立学科是在19世纪发展起来的，柯西、黎曼、外尔斯特拉斯三大数学家奠定了复变函数论的基础。柯西在1814－1825年间得到了计算复函数沿复平面上路径积分的基本定理和留数计算公式。黎曼在1851年的博士论文《单复变函数的一般理论基础》中第一次明确了单值解析函数的定义，指出实函数和复函数导数的基本差别，阐明现被称为黎曼面的概念和共形映射定理，开创了多值函数研究的深刻方法，打通了复变函数论深人发展的道路。外尔斯特拉斯从研究幂级数出发，提出复函数的解析开拓理论，引入完全解析函数的概念。此外还有阿贝尔和雅可比的椭圆函数理论，斯蒂尔杰斯的连分式的解析理论（由此引进了以他的名字命名的新的积分），以及埃尔米特、米塔-列夫勒、皮卡、阿达马等人的工作，成果十分丰富，以致有人称19世纪是函数论的世纪。
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在19世纪，微分方程在微积分的新概念和新方法的影响下进入了新的发展阶段。在这一阶段，关于常微分方程，柯西首先指出，必须改变先求通解后求特解的次序，并建立了一阶方程在初值条件下解的存在唯一性定理，由此引起初值问题（又称之为柯西问题）的研究。19世纪40年代，数学家们发现一些形式上很简单的方程却不能通过初等积分法来求解，从此，微分方程研究的主要目标和方法开始转移。随着复变函数论的发展，常微分方程的研究由实数域扩展到复数域。到19世纪末期，由于庞加莱、S．李和李亚普诺夫等人的工作，使常微分方程的发展进入了新的阶段，常微分方程解析理论、变换群理论、定性理论和动力系统等新的研究方向开始形成。关于偏微分方程，由于傅立叶在1822年解热传导方程时，提出的用三角级数表示方程的未知解的工作，不仅推进了偏微分方程理论，而且开始了傅立叶级数的研究。成批的数学家围绕着偏微分方程的理论和应用做了大量的工作，取得了丰硕的成果，其中尤以格林的工作最为突出。
19世纪数学中的另一项重大变革来自代数学。1824年，阿贝尔证明了五次以上的一般代数方程无根式解。1830年，皮科克的《代数通论》问世，书中对代数运算的基本法则进行了探索性研究，为代数结构观点的形成及代数公理化研究做了尝试，德·摩根和布尔也围绕这个目标做出努力。代数中更深刻的思想来自数学史上传奇式人物伽罗瓦，他在1829－1832年之间，提出并论证了代数方程可用根式解的普遍判别准则，从概念和方法上为最基本的一种代数结构——群的理论奠定了基础，阐明了群的正规子群和同构等重要概念。伽罗瓦的创造性工作在他生前没能被数学界了解。另一项引起代数观念深刻变革的成果来自哈密顿和格拉斯曼。哈密顿在1843年创立了四元数理论，四元数是第一个不满足乘法交换率的数学对象，从此数学家便突破了实数与复数的框架，比较自由地构造各种新的代数体系，四元数理论很快成为向量代数、向量分析以及线性结合代数的先导。1844年，格拉斯曼在讨论n维几何时，独立地得到更一般的具有n个分量的超复数理论，但他的工作由于表达晦涩而无法使当时的学者接受。在数论方面，由于对费马大定理的研究，德国数学家库默尔在1845－1847年间引进了“理想数”概念。在此基础上，戴德金发展了理想理论。这项工作不仅对代数数论的发展有重要影响，也开辟了代数学发展的道路。1847年，德·摩根发表《形式逻辑）,1854年，布尔发表《思维规律的研究》，从而创立了符号逻辑代数，这是使演绎推理形式化的有力工具。在布尔工作的影响下，凯莱和西尔维斯特共同创造了代数型的理论，奠定了关于代数不变量理论的基础。1870年，若尔当发表《置换与代数方程》，第一次对伽罗瓦的贡献给出全面而清晰的阐述，为群论在19世纪末的发展奠定了基础。19世纪末期，数学家们从许多分散出现的具体研究对象抽象出它们的共性来进行公理化研究，完成了来自上述几方面工作的综合，终于使以研究方程理论为主的代数学发展成为以研究各种代数结构为主的抽象代数学。
在19世纪，概率论的发展从古典概率时期进入分析概率时期，1812年拉普拉斯的《概率的分析理论》的出版是这一转变的标志。拉普拉斯首次明确给出了概率的古典定义，并引入差分方程、母函数等分析工具，给出棣莫弗一拉普拉斯极限定理的证明。高斯等人建立的正态分布和最小二乘法对于用概率论研究天文观测、大地测量和物理观测起到重大作用；泊松推广了伯努利形式下的大数律，得到一种新的分布——泊松分布；切比雪夫用他创立的不等式（见切比雪夫不等式）得到了有关独立随机变量序列的大数律和中心极限定理，等等。这些都是19世纪概率论的重要成果。但是，由于唯心主义和形而上学的渗入，使概率论的健康发展受到一定影响。
19世纪末期，随着分析严格化的完成，数学家们又开始对数学基础进行更深人的探讨。G．康托尔在探讨实数定义的同时，研究了傅立叶级数收敛点集的结构，从1874年起发表一系列有关无穷集合的文章，开创了集合论这一基础性的数学分支。G．康托尔把无穷集本身作为研究对象，通过一一对应方法，区分无穷集的大小，定义集合的基数，引进序型、序数以及一些属于拓扑学的基本概念。他还提出了著名的连续统假设。G．康托尔的工作意义十分深远，但一开始在数学界也遭到激烈反对，十几年后才得到确认，并成为20世纪数学研究的基础。
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随着皮亚诺关于自然数公理体系和帕施关于射影几何学公理体系的建立，在19世纪出现了数学公理化运动的热潮，其中最著名的是希尔伯特于1899年在《几何基础》中阐述的欧几里得几何学的公理系统。他考虑了公理系统的独立性、相容性和完备性，并证明欧氏几何的相容性可以归结为算术的相容性。数学家们在为各数学分支建立公理体系的同时，还通过完善所论体系的公理来探索新问题。
还有一些新的分支，如函数逼近论、组合拓扑学、实变函数论、积分方程的一般理论等都在19世纪末登上数学舞台。总之，到19世纪末，数学已发展成为拥有众多分支的广大领域。数学研究越来越专门化，但是，在数学研究专门化的趋势之中也蕴涵着整体化的因素。群论的新应用就是最好的例证。1872年，C．F．克莱因在著名的《埃朗根纲领》中根据变换群的观点，对几何进行系统分类，揭示了群的概念在几何中的统一作用，开拓了研究几何学的一种有效方法。1874年，挪威数学家S．李在研究常微分方程与保持这些方程的解不变的变换群之间的关系时，创立了连续变换群理论及相应的代数。
与18世纪末的情况形成鲜明的对照，在19世纪末，领头的数学家，如庞加莱、希尔伯特等对数学的前途充满信心。1900年，希尔伯特在第二届国际数学家大会上所作的题为《数学问题》的报告，提出了在当时数学前沿上尚未解决的23个问题。他的报告成为迎接20世纪数学大发展的宣言书。
