[中考数学知识点总结]初中数学教材分析之从宏观到微观

[中考数学知识点总结]初中数学教材分析之从宏观到微观

作者：王冰
　　
　　透彻分析教材是有效设计教学过程的前提，也是提高课堂教学质量的必要条件．下面笔者以人教版《数学》七年级上册“14．1变量与函数(第1课时)”为例谈淡如何进行教材分析．
　　
　　一、宏观把握教材
　　
　　分析教材首先应明确教材内容在《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》(以下简称《课标》)中的具体要求；其次，在分析过程中不仅要研究教材正文、例题、习题等具体内容，而且还应将局部的数学内容与整体的数学内容相联系，将一节的数学内容与一章的数学内容、一个学习阶段的数学内容、初中学段的数学内容甚至整个中学学段的数学内容相联系．要整体了解教材，宏观把握教材．具体地说，主要包括以下几个方面．
　　
　　1．明确教材内容在《课标》中的具体要求
　　
　　明确教材内容的重要知识点在《课标》中的具体要求，仔细领会刻画目标要求的动词“了解”“理解”“掌握”“灵活运用”“经历”“体验”“探索”的真正涵义，使之具体化，切实把握教材重要知识点在《课标》中的要求程度．例如，《课标》对“变量、函数”的具体要求是：“通过简单实例，了解常量、变量的意义…‘能结合实例，了解函数的概念，……，能举出函数的实例”．解析此目标，将其分解为具体的、可操作的、可检测的行为要求，即：(1)通过简单实例，说出变量、常量的意义；(2)在具体问题情境中，能识别变量与常量；(3)能结合具体实例认识函数，并能判断两个变量之间是否存在函数关系；(4)能举出可用函数表示的现实生活中的实例．值得注意的是，《课标》中的具体目标是学生在本学段学习结束时在认知等水平上应达到的最基本要求，不是当前学生学习的目标要求，更不是学生学习的最高标准．
　　
　　2．了解教材内容在学科体系中的地位和作用
　　
　　将教材内容放在整个数学学科的大框架之中，从宏观上了解它在学科体系中的地位和作用．例如，本节内容中的函数概念，它是近代数学最基本的概念之一，它的引入是数学发展史上的一个重要里程碑，它使常量数学进入变量数学，实现了数学发展史上的一次重大转折，许多数学分支(如代数、三角、解析几何、微积分、实变函数、复变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等)都是以函数为中心展开研究的，函数已成为整个数学学科体系中的一个核心概念．
　　
　　3．熟悉教材内容在教材体系中的地位和作用
　　
　　将教材内容放在教材体系之中，研究它在一章中、一个学习阶段中、初中学段中甚至整个中学学段中的地位和作用．关于函数，初中数学主要研究函数的概念、正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，高中数学重点研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、数列(以自然数集或其子集为定义域的函数)以及解析几何中的曲线方程(其实是一类隐函数)，这些内容在中学数学中无论数量还是影响力都居于重要地位．作为初中数学四大学习领域之一的“数与代数”，其“四大主干”的三个——数、式、方程(不等式)都可以用函数来“统帅”(另一个主干是函数自身)：数集的发展为函数的定义域和值域研究作了准备；“式”是函数关系的重要表达形式，“式”也可以看做是关于式中某个(或某些)字母的函数；方程或不等式的解集则可以理解为使左右两个函数值相等或不等的公共定义域的子集．显然，函数在“数与代数”领域中发挥着主导作用．函数的概念是本章内容的基础，一次函数是最简单的线性函数，正比例函数是特殊的一次函数．正比例函数的研究思路、研究方法对一次函数的研究具有方法论意义，用函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组，不仅体现了“数与代数”领域中重要知识点——函数、方程(组)、不等式之间的内在联系，而且更加突出了函数的核心地位．
　　
　　二、微观分析教材
　　
　　在宏观把握教材的基础上，要对教材进行具体分析，从微观层面上深入挖掘教材，细致研究教材．
　　
　　1．理清教材内容的逻辑结构
　　
　　理清教材内容的逻辑结构就是要弄清楚教材内容主要包含哪些知识点，这些知识点之间有何内在的逻辑关系．本节内容主要有三个概念，即变量、常量、函数．变量和常量分别指在一个变化过程中数值发生变化的量和始终不变的量．函数是指在一个变化过程中的两个变量之间的单值对应关系．可见，变量与常量是变化过程中的一对矛盾统一体，变量是函数的研究对象，函数体现了两个变量在某一变化过程中的特殊依赖关系，即单值对应关系．
　　
　　2．析出核心内容、内容核心以及所蕴涵的数学思想方法
　　
　　分析教材不仅要理清教材内容的逻辑结构，更要析出对数学学科具有重要影响且处于主干地位、对学生数学认知结构具有不可或缺的基础作用的核心内容以及核心内容的内容核心，还要析出内容本身所蕴涵的数学思想方法．本节内容的核心内容是“函数的概念”，函数概念的核心是“单值对应关系”，“变量、常量”蕴涵分类思想，“函数”蕴涵变化思想和对应思想．
　　
　　3．领会正文、例题、习题的编写意图
　　
　　此过程主要研究教材内容究竟是如何围绕核心内容展开的，怎样突出内容的核心的，如何渗透数学思想方法的．
　　
　　本节内容教材呈现的正文主要包括两部分：第一部分通过5个例子(①匀速运动中路程和时间的关系；②电影院中票房收入和电影票张数之间的关系；③弹簧受力后长度和所挂重物之间的对应关系；④圆半径和面积之间的关系；⑤在周长一定的前提下，长方形面积．s与长的对应关系)抽象概括出变量和常量的概念，为引出函数概念作铺垫，同时，在抽象变量、常量概念的过程中渗透分类思想；第二部分具体分析5个例子中的两个变量间的对应关系，并思考用图象和表格表示的两个变量间的对应关系，进而概括出函数的概念，体现变化思想和对应思想．正文第一部分的5个例子，从内容上看，都有变量和常量，而且都含有两个变量；从背景上看，有数学问题也有物理问题，有代数问题也有几何问题，有学生实际生活中的常见问题也有纯数学问题，这些问题背景都是学生熟悉的、贴近学生数学现实和生活现实的素材；从呈现方式上看，有的需要填表，有的需要求值，所有的都需要写关系式；从结果上看，关系式中有的用变量的一次式表示，有的用二次式表示，有的用二次根式表示，并且自变量的范围有的为有限的正整数，有的为开区间；从反映的本质上看，5个例子的共同特征凸显了变量和常量概念的本质属性，为函数概念的引入作了很好的铺垫；从数学思想方法上看，5个例子的本质特征蕴涵着分类思想．在概括出变量、常量的概念后，教材中的“思考”和“练习”(“思考”：具体指出上面的各问题中，哪些是变量，哪些是常量．“练习”：举出一些变化的实例，指出其中的常量和变量)又从两个不同的侧面对变量和常量进行再认识，提高学生对变量、常量概念本质的理解和对
　　
　　分类思想的感悟．第二部分，教材对5个例子一一进行细致分析，主要解释以下几个方面的意义：(1)在一个“变化”过程中；(2)存在“两个”变量；(3)这两个变量具有一定的“联系”；(4)这种“联系”使一个变量的变化引起另一个变量也“随之”变化；(5)这个变化之间存在“单值对应”关系．整个分析过程紧紧围绕本节核心内容(即函数)的内容核心(即单值对应关系)，突出了关键字“每”和“唯一确定”的意义，即“每”——任意、穷尽所有，“唯一确定”——存在但没有第二个，同时渗透变化思想和对应思想．在第二部分，教材又以心电图和中国人口统计表为背景呈现了用图象和表格表示的函数关系，为凸显函数概念的本质特征提供丰富的素材，同时也为进一步研究函数的不同表达方式作铺垫．教材在概括出函数概念并定义了自变量、函数、函数值后，又对前面的例子进行再认识，并用新的表达方式解释两个变量之间的关系，以加深学生对函数概念的理解，提高学生的表达能力．教材中的练习是分别以几何问题和具有生活背景的代数问题为载体的两个函数，要求指出其自变量、函数，并写出解析式．此题的作用是对本课时的核心内容的强化，可以提高学生对函数概念核心的理解和对变化思想、对应思想的感悟．
　　
　　本节内容教材没有例题，涉及的相关习题主要有4道．第l、2题分别以代数、几何内容为背景，指出题中常量与变量，自变量与函数，并写出解析式，第2题还要求写出自变量的取值范围．这两道题具有针对性和层次性，习题紧紧围绕本节的核心内容进行巩固练习．第3题是判断题，判断y=3x－5，y=，y=是否为函数，并说明理由，再举出一些函数的例子．第4题(教材中的第6题，前三道题分别为教材的第1、2、3题)是判断所给的4条曲线是否表示函数．这两道题通过以解析式、图象两种不同方式呈现变量间关系，让学生判断两个变量是否为函数关系，这是从内涵和外延两个角度让学生进一步理解函数的概念，深化对函数本质属性的认识．
　　
　　基于以上分析，笔者对教材内容及其呈现方式提出几点建议：一是在例3中加上“在弹性限度内”，否则，不符合力学中的胡克定律．二是在前面5个例子中再增加用图象表示两个变量关系的实
　　
　　际例子，如“某地在24小时内的气温变化图(图略)，分析图中有哪些量．”这种呈现方式的优点是：(1)可以借助图象直观地看出变量的存在以及一个变量(时间)的变化引起另一个变量(温度)也随之变化，而且它们是单值对应关系．(2)图象可以凸显变量、函数的本质特征．(3)为以后研究函数的三种表达方式作铺垫．值得一提的是，若在前面呈现此例，正文第二部分“思考”中用图象和表格表示的心电图和中国人口统计表就可以略去．(4)可以避免“思考”中“图中点的横坐标表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流”指代不明的问题．因为教材并没有在心电图中画出坐标系，没有坐标系，横、纵坐标就无从谈起．三是在练习题中建议增加概念辨析题，如：下列式子中，y是x的函数吗?为什么?y=－2x+1；②)y=；③y=x2；④y2=x．通过辨析，可以明确函数的外延，加深对函数内涵的理解．四是将教材习题中的第6题调至第3题，将第3题顺延为第4题，这样将容易题放在前面更符合学生的认识规律．
　　
　　参考文献：
　　
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　　[3]王冰，张一颖．突出数学思想方法的概念教学——“变量与函数”(第一课时)教学设计与反思[J]．中国数学教育(初中版)，2009，(5)．
　　
　　[4]李求来，昌国良．中学数学教学论[M]．长沙：湖南师范大学出版社，2006．
　　
　　【作者简介】王冰，辽宁省大连教育学院初中教师教育中心．
　　
　　【原文出处】《中学数学教学参考》(西安)，2011．5申．29～31

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