微积分的发展史|微积分的发展

微积分的发展史|微积分的发展

微积分是微分和积分两门学问的统称,研究的范畴有三,包括微分、积分,以及微分和积分两者之间的关系。微分主要讨论一个变量怎样随时间(或其他变量)改变,而积分则主要讨论计算面积的方法。它们两者的关系由「微积分基本定理」(或称「牛顿-莱布尼茨公式」)给出:简单来说,这条定理说明,在适当的条件下,求积分是求微分之逆,求微分也是求积分之逆。以下简介微积分发展的歷史。
  
  一、萌芽时期
  
  早在希腊时期,人类已经开始讨论「无穷」、「极限」以及「无穷分割」等概念。这些都是微积分的中心思想;虽然这些讨论从现代的观点看有很多漏洞,有时现代人甚至觉得这些讨论的论証和结论都很荒谬,但无可否认,这些讨论是人类发展微积分的第一步。
  
  例如公元前五世纪,希腊的德謨克利特(Democritus)提出原子论:他认為宇宙万物是由极细的原子构成。在中国,《庄子.天下篇》中所言的「一尺之捶,日取其半,万世不竭」,亦指零是无穷小量。这些都是最早期人类对无穷、极限等概念的原始的描述。
  
  其他关於无穷、极限的论述,还包括芝诺(Zeno)几个著名的悖论1:其中一个悖论说一个人永远都追不上一隻乌龟2,因為当那人追到乌龟的出发点时,乌龟已经向前爬行了一小段路,当他再追完这一小段,乌龟又已经再向前爬行了一小段路。芝诺说这样一追一赶的永远重覆下去,任何人都总追不上一隻最慢的乌龟--当然,从现代的观点看,芝诺说的实在荒谬不过;他混淆了「无限」和「无限可分」的概念。人追乌龟经过的那段路纵然无限可分,其长度却是有限的;所以人仍然可以以有限的时间,走完这一段路。然而这些荒谬的论述,开啟了人类对无穷、极限等概念的探讨,对后世发展微积分有深远的歷史意味。
  
  另外值得一提的是,希腊时代的阿基米德(Archimedes)已经懂得用无穷分割的方法正确地计算一些面积,这跟现代积分的观念已经很相似。由此可见,在歷史上,积分观念的形成比微分还要早--这跟课程上往往先讨论微分再讨论积分刚刚相反。
  
  二、十七世纪的大发展--牛顿和莱布尼茨的贡献
  
  中世纪时期,欧洲科学发展停滞不前,人类对无穷、极限和积分等观念的想法都没有甚麼突破。中世纪以后,欧洲数学和科学急速发展,微积分的观念也於此时趋於成熟。在积分方面,一六一五年,开普勒(Kepler)把酒桶看作一个由无数圆薄片积累而成的物件,从而求出其体积。而伽利略(Galileo)的学生卡瓦列里(Cavalieri)即认為一条线由无穷多个点构成;一个面由无穷多条线构成;一个立体由无穷多个面构成。这些想法都是积分法的前驱。
  
  在微分方面,十七世纪人类也有很大的突破。费马(Fermat)在一封给罗贝瓦(Roberval)的信中,提及计算函数的极大值和极小值的步骤,而这实际上已相当於现代微分学中所用,设函数导数為零,然后求出函数极点的方法。另外,巴罗(Barrow)亦已经懂得透过「微分三角形」(相当於以dx、dy、ds為边的三角形)求出切线的方程,这和现今微分学中用导数求切线的方法是一样的。由此可见,人类在十七世纪已经掌握了微分的要领。
  
  然而,直至十七世纪中叶,人类仍然认為微分和积分是两个独立的观念。就在这个时候,牛顿和莱布尼茨将微分及积分两个貌似不相关的问题,透过「微积分基本定理」或「牛顿-莱布尼茨公式」连繫起来,说明求积分基本上是求微分之逆,求微分也是求积分之逆。这是微积分理论中的基石,是微积分发展一个重要的里程碑。
  
  微积分诞生以后,逐渐发挥出它非凡的威力,过去很多初等数学束手无策的问题,至此往往迎刃而解。例如,雅各布.伯努利(JakobBernoulli)用微积分的技巧,发现对数螺线经过各种适当的变换之后,仍然是对数螺线3。他的弟弟约翰.伯努利(JohnannBernoulli)在一六九六年提出一个「最速降线」问题︰「一质点受地心吸力的作用,自较高点下滑至较低点,不计摩擦,问沿著什麼曲线,时间最短?」这条问题后来促使了变分学诞生4。欧拉(Euler)的《引论》、《微分学》、《积分学》亦总结了自十七世纪微积分的全部成果。
  
  儘管如此,微积分的理论基础问题,仍然在当时的数学界引起很多争论5。牛顿的「无穷小量」,有时是零,有时又不是零,他的极限理论也是十分模糊的。莱布尼茨的微积分同样不能自圆其说。这个问题要到十九世纪才得到完满的解答,所以微积分在当时,惹来不少反对的声音,当中包括数学家罗尔(Rolle)。儘管如此,罗尔本身亦曾提出一条与微积分有关的定理︰他指出任意的多项式f(x)=a+bx+cx2+dx3+...的任何两个实根之间都存在至少一个b+2cx+3dx2+...的实根。熟悉微积分的朋友会知道,b+2cx+3dx2+...其实是f(x)=a+bx+cx2+dx3+...的导数6。后人将这条定理推广至可微函数,发现若函数f(x)可微,则在f(x)=0的任何两个实根之间,方程f"(x)=0至少有一个实根。这条定理被冠為「罗尔定理」,是為微分学的基本定理之一。由此可见,在挑战微积分的理论基础的同时,数学家已经就微积分的发展作出了很大的贡献。
  
  三、十九世纪基础的奠定
  
  微积分的发展迅速,使人来不及检查和巩固微积分的理论基础。十九世纪,许多迫切问题基本上经已解决,数学家於是转向微积分理论的基础重建,人类亦终於首次给出极限、微分和积分等概念的严格定义。
  
  一八一六年,波尔查诺(Bolzano)在人类歷史上首次给出连续函数的近代定义。继而在一八二一年,柯西(Cauchy)在他的《教程》中提出e方法,后来在一八二三年的《概要》中他改写為d方法,把整个极限过程用不等式来刻画,使无穷的运算化為一系列不等式的推算,这就是所谓极限概念的「算术化」。后来外尔斯特拉斯(Weierstrass)将e和d联繫起来,完成了e-d方法,这就是现代极限的严格定义。
  
  有了极限的严格定义,数学家便开始尝试严格定义导数和积分。在柯西之前,数学家通常以微分為微积分的基本概念,并把导数视作微分的商。然而微分的概念模糊,把导数定义作微分的商因此并不严谨。於是柯西《概要》中直接定义导数為差商的极限,这就是现代导数的严格定义,是為现代微分学的基础。
  
  在《概要》中,柯西还给出连续函数的积分的定义:设f(x)為在[a,b]上连续的函数,则任意用分点a=x0<...<xn=b,将[a,b]分為n个子区间[xi-1,xi](i=1,2,...,n),若果和式
  
  当最大子区间的长度趋向0时,极限存在,则此极限称為函数f(x)在[a,b]上的积分。这跟现代连续函数积分的定义是一致的。
  
  后来黎曼(Riemann)推广了柯西的定义。黎曼的定义跟柯西的定义不同的地方,在於和式S的定义:在黎曼的定义中,和式S定义為
  
  (留意黎曼在黎曼和中用了[xi-1,xi]中任意一点xi-1,而柯西在其和式S中则永远选取子区间[xi-1,xi]的左端点xi-1)。我们说黎曼推广了柯西的定义,是因為对所有在[a,b]上连续的函数,柯西积分的值跟黎曼积分的值一样,而且有一些在[a,b]上不连续的函数,当最大子区间的长度趋向0时S的极限依然存在。这就是现在所用的「黎曼积分」的定义;至此微积分理论的基础重建已经大致完成。
  
  柯西以后,微积分逻辑基础发展史上的最重大事件是人类从集合理论出发,建立了实数理论--我们说实数理论的建立是微积分理论发展史上的一件大事,是因為微积分的理论用上了很多实数的性质。这实数理论的建立,主要功劳归於戴德金(Dedekind)、康托尔(Cantor)、外尔斯特拉斯等人。一八七二年,梅雷(Méray)提出的无理数定义,和同一年康托尔提出用有理「基本序列」来定义无理数实质相同。有了实数理论,加上集合论和极限理论,微积分就自从三百年以来,首次有了巩固的逻辑基础,而微积分的理论亦终於趋於完备。
  
  註:
  
  1.悖论是一些似是而非的推论;这些推论在逻辑上都是不成立的。当然,在这个例子里,我们现在知道芝诺提出的是悖论,是因為我们现在有一套已经发展得很完备的逻辑系统。在芝诺的时代,芝诺以至其他学者都还没有意识到其推论的谬误。[返回原文]
  
  2.歷史上那个追乌龟的人名叫阿基琉斯(Achilles)。[返回原文]
  
  3.在惊叹和欣赏这曲线的神奇巧妙之餘,他要求死后将对数螺线刻在自己的墓碑上,并附以颂词「纵使变化,依然故我!」。[返回原文]
  
  4.变分学是微积分的一个分支。[返回原文]
  
  5.另外,牛顿比莱布尼茨早十年研究微积分,但莱布尼茨却比牛顿早三年发表研究结果,这引发了微积分发明优先权的争论。[返回原文]
  
  6.不熟悉微积分的朋友,可把b+2cx+3dx2+...看作用0、1、2、……各项分别乘原多项式f(x)=a+bx+cx2+dx3+...各项再除以x所得到的方程。(来源:数学资料库)

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