贝特朗悖论|贝特朗概率悖论的解释

贝特朗悖论|贝特朗概率悖论的解释

      贝特朗概率悖论是一个著名的悖论题,与其他的集合悖论不一样,这个悖论只是我们看起来“错”而已,也并没有像集合悖论一样带来一次数学危机,正确审视它,就是让我们对“几何概型”这一概念更加地深入了解而已。
      我就不废话,我们直接来看什么是贝特朗概率悖论,百度上有很多,随便一搜就到处都是
      题目是这样子滴:在圆中做弦MN,求使MN的长大于圆内接正三角形边长的概率。

      这道题若从不同的角度看,就有几种不同的答案,百度百科里有,我就不想在这里多费口舌,希望各位先到那里去看看具体的答案,我把图片下载下来,大家可以自己看:百度百科词条解释
     

      虽然这多种解法各有各得说法,似乎每一个都对,但是悖论毕竟是悖论,他终究是错的。概率问题一个基本的原则就是,不管从哪个角度看,答案只能有一个,否则一件事情的概率都不一致,这问题要么就是本身就有问题,要么就是条件不够。而对于贝特朗概率悖论所涉及到的问题,正是如此,因为其条件不够。
      首先我们看第一种“解法”。
     
      解法1的思路是,在于AB平行的弦中,只有与PQ交点落在MN上的,弦长才大于根号3。弦与PQ的交点肯定就是落在PQ上的,而NM=1/2PQ,所以此时概率为1/2.
      这个解法其实有一个重要前提,那就是弦与PQ的交点在PQ上是均匀分布的。正正是题目中所缺乏的条件,因为圆中任意的弦,这到底怎么个做法?是像这种解法所说的,使其与PQ交点在PQ上均匀分布么?还是使弦与圆周的交点是任意分布?如果满足后者,就不可能满足前者,满足前者,就不可能满足后者。一个比较明显的说法就是:做几条平行弦,使其在PQ上均匀分布,也就是相互之间的距离相等,我们可以看见,这些弦之间的弧长并不相等,也就是说,在PQ上均匀分布,一定不会在圆周上均匀分布。原题中没有给出这样的条件,解法1加了这么一个条件,显然就有不一样的结果了。
     
      再看解法2.
     
      解法2的思路是,链接OA,在OA两边做弦AM和AN,使其和AO的夹角为30°。在圆中所有的弦中,只有当B点落在弧MN上时,才满足条件,而MN的弧长占据整个弧长的1/3,所以概率为1/3
      看了解法1,你就知道这个解法的原因所在了,他正是采用了在圆周上均匀分布这一条件得出的结果。
      最后看解法3
     
      解法3的思路是,在圆中任意取一点M,只有当OM<1/2的时候,以M点为位中点的弦才满足条件,故满足条件的M点只能分布于以O为圆心,半径为1/2的圆中,而该圆的面积占据大圆的1/4,故概率为1/4.
      学夫子自己的看法来说,这种解法最牵强,他将弦的分布划归为其中点在圆中的分布,认为“一个中点M只对应于一条弦”,显然这是错误的,因为圆心O所对应的弦有无数条,而对于非圆心的点M,以M为中点的弦只有一条。所以这本身就不是等可能的,这种解法就是错误,他就跟前两种解法不一样,加上条件就是对的,这种解法无论加什么条件都是错的,因为不是条件缺与不缺的问题,而是犯了概率论中最基本的前提错误——等可能分布。
      不过网络上更倾向于第二种方法的答案作为这道题的“标准答案”,因为任意给一条弦,他应该由圆周上的两点决定。
      文章来源:学夫子数学博客

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贝特朗奇论 贝特朗均衡
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